Номер 21.15, страница 127 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

21.15. Основанием прямой четырехугольной призмы является ромб, стороны которого равны 1 см, а острый угол равен $60^\circ$. Найдите радиус сферы, вписанной в эту призму.

Дано:

Призма - прямая, четырехугольная.

Основание призмы - ромб.

Сторона ромба, $a = 1 \text{ см}$.

Острый угол ромба, $\alpha = 60^\circ$.

В призму вписана сфера.

Перевод в СИ:

$a = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Радиус вписанной сферы, $R$.

Решение:

Сферу можно вписать в прямую призму только в том случае, если в ее основание можно вписать окружность, и при этом высота призмы равна диаметру этой вписанной окружности. В любой ромб можно вписать окружность. Пусть $r$ - это радиус окружности, вписанной в основание призмы (ромб), а $R$ - это радиус сферы, вписанной в призму.

Для такой призмы радиус вписанной сферы $R$ будет равен радиусу окружности $r$, вписанной в основание. То есть, $R = r$.

Диаметр окружности, вписанной в ромб, равен высоте ромба $h$. Таким образом, $h = 2r$.

Из этих двух соотношений следует, что радиус вписанной сферы $R$ равен половине высоты ромба, который лежит в основании призмы:

$R = r = \frac{h}{2}$.

Теперь найдем высоту ромба $h$. Высоту ромба можно вычислить по формуле, зная его сторону $a$ и острый угол $\alpha$:

$h = a \cdot \sin(\alpha)$.

Подставим известные значения в формулу:

$h = 1 \text{ см} \cdot \sin(60^\circ)$.

Значение синуса $60^\circ$ является табличным: $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Тогда высота ромба равна:

$h = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}$.

Теперь мы можем найти радиус вписанной сферы $R$, который равен половине высоты ромба:

$R = \frac{h}{2} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \text{ см}$.

Ответ: радиус вписанной сферы равен $\frac{\sqrt{3}}{4} \text{ см}$.