Страница 127 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

21.8. В правильную треугольную призму вписана сфера радиусом 1 см.

Найдите сторону основания этой призмы.

Дано:

Призма — правильная треугольная.
В призму вписана сфера.
Радиус вписанной сферы $R = 1$ см.

$R = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Сторону основания призмы $a$.

Решение:

Поскольку сфера вписана в правильную треугольную призму, она касается обоих оснований (верхнего и нижнего) и всех трех боковых граней призмы.

Из того, что сфера касается верхнего и нижнего оснований, следует, что высота призмы $H$ равна диаметру вписанной сферы $2R$. $H = 2R = 2 \cdot 1 = 2$ см.

Рассмотрим сечение призмы плоскостью, которая проходит через центр сферы и параллельна основаниям. В сечении мы получим равносторонний треугольник, идентичный основаниям призмы, и вписанный в него большой круг сферы (сечение сферы этой плоскостью).

Таким образом, радиус окружности, вписанной в основание призмы (обозначим его $r_{in}$), равен радиусу самой сферы $R$. $r_{in} = R = 1$ см.

Существует формула, связывающая сторону равностороннего треугольника $a$ и радиус вписанной в него окружности $r_{in}$: $r_{in} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Подставим в эту формулу известное значение радиуса $r_{in} = 1$ см и найдем сторону основания $a$: $1 = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Выразим отсюда $a$: $a = 2\sqrt{3}$ см.

Ответ: $2\sqrt{3}$ см.

21.9. В правильную четырехугольную призму, сторона основания которой равна $1$ см, вписана сфера. Найдите радиус этой сферы.

Дано:

Правильная четырехугольная призма.
Сторона основания $a = 1$ см.
В призму вписана сфера.

Перевод в СИ:
$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Радиус вписанной сферы $R$.

Решение:

Правильная четырехугольная призма — это прямая призма, в основании которой лежит квадрат.

Сфера, вписанная в призму, касается всех ее граней. Это означает, что она касается двух оснований (верхнего и нижнего) и четырех боковых граней.

Рассмотрим вид сверху (проекцию на основание). Проекция сферы будет представлять собой круг, вписанный в квадрат, который является основанием призмы. Радиус этого круга равен радиусу сферы $R$, а сторона квадрата равна $a$.

Для круга, вписанного в квадрат, диаметр круга равен стороне квадрата. Диаметр сферы равен $2R$.

Следовательно, мы можем записать соотношение:

$2R = a$

Также, поскольку сфера касается верхнего и нижнего оснований, расстояние между ними (высота призмы $h$) должно быть равно диаметру сферы: $h = 2R$. Таким образом, чтобы вписать сферу в правильную четырехугольную призму, она должна быть кубом ($a=h$).

Из условия задачи нам известна сторона основания $a = 1$ см. Используя полученную формулу $2R = a$, найдем радиус сферы:

$R = \frac{a}{2}$

Подставляем значение $a$:

$R = \frac{1 \text{ см}}{2} = 0.5 \text{ см}$

Ответ: $0.5$ см.

21.10. В правильную четырехугольную призму вписана сфера радиусом 1 см. Найдите сторону основания этой призмы.

21.11. В

Дано:

Призма — правильная четырехугольная.

В призму вписана сфера.

Радиус вписанной сферы $R = 1$ см.

Перевод в систему СИ:
$R = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Сторону основания призмы $a$.

Решение:

Правильная четырехугольная призма — это прямая призма, в основании которой лежит правильный четырехугольник, то есть квадрат. Обозначим сторону квадрата в основании как $a$.

Условие, что в призму вписана сфера, означает, что сфера касается всех граней призмы: двух оснований и четырех боковых граней.

Центр вписанной сферы равноудален от всех граней призмы на расстояние, равное радиусу сферы $R$.

Расстояние между двумя параллельными гранями, которых касается сфера, равно ее диаметру $D$. Диаметр сферы связан с ее радиусом соотношением $D = 2R$.

Поскольку сфера касается двух противоположных боковых граней призмы, расстояние между этими гранями равно диаметру сферы. В правильной четырехугольной призме расстояние между противоположными боковыми гранями равно стороне ее основания $a$.

Таким образом, сторона основания призмы равна диаметру вписанной сферы:

$a = D = 2R$.

Подставим известное значение радиуса $R = 1$ см в формулу:

$a = 2 \times 1 \text{ см} = 2 \text{ см}$.

Стоит отметить, что для того, чтобы сфера была вписана, ее диаметр также должен быть равен высоте призмы $h$, то есть $h = a = 2R$. Это означает, что призма является кубом со стороной 2 см.

Ответ: 2 см.

1 см. Найдите сторону основания этой призмы.

21.11. В правильную шестиугольную призму со стороной основания 1 см вписана сфера (рис. 21.6). Найдите высоту призмы.

Рис. 21.6

Дано

Правильная шестиугольная призма.

Сторона основания $a = 1$ см.

В призму вписана сфера.

Перевод в систему СИ:

$a = 0.01$ м.

Найти:

$H$ – высота призмы.

Решение:

Так как сфера вписана в правильную шестиугольную призму, она касается всех граней призмы: верхнего и нижнего оснований, а также всех шести боковых граней.

1. Из условия, что сфера касается верхнего и нижнего оснований, следует, что расстояние между этими основаниями, то есть высота призмы $H$, равно диаметру вписанной сферы $D$.

$H = D = 2R$, где $R$ – радиус вписанной сферы.

2. Из условия, что сфера касается всех боковых граней призмы, следует, что сечение призмы плоскостью, проходящей через центр сферы параллельно основаниям, представляет собой правильный шестиугольник, в который вписана большая окружность сферы (окружность с радиусом $R$).

Таким образом, радиус сферы $R$ равен радиусу $r$ окружности, вписанной в основание призмы (в правильный шестиугольник со стороной $a$).

3. Найдем радиус $r$ окружности, вписанной в правильный шестиугольник. Этот радиус равен апофеме правильного шестиугольника. Правильный шестиугольник со стороной $a$ состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a$. Апофема шестиугольника является высотой одного из таких треугольников.

Высоту $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ можно найти по теореме Пифагора:

$h^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2$

$h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$

$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Следовательно, радиус вписанной окружности $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

4. Так как $R = r$, то $R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Подставим значение стороны основания $a = 1$ см:

$R = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

5. Теперь найдем высоту призмы $H$:

$H = 2R = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.

Ответ: $H = \sqrt{3}$ см.

21.12. В правильную шестиугольную призму вписана сфера радиусом 1 см. Найдите сторону основания этой призмы.

Дано:

Призма - правильная шестиугольная.
В призму вписана сфера.
Радиус вписанной сферы $R = 1 \text{ см}$.

Перевод в систему СИ:
$R = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Сторону основания призмы $a$.

Решение:

По условию, в правильную шестиугольную призму вписана сфера. Это означает, что сфера касается обоих оснований призмы и всех ее боковых граней.

Рассмотрим сечение призмы плоскостью, проходящей через центр сферы и параллельной основаниям призмы. В этом сечении мы получим правильный шестиугольник (основание призмы), в который вписана окружность (большая окружность сферы).

Радиус этой вписанной в шестиугольник окружности равен радиусу вписанной сферы, то есть $r = R = 1 \text{ см}$.

Найдем связь между стороной правильного шестиугольника $a$ и радиусом вписанной в него окружности $r$. Правильный шестиугольник можно разбить на 6 одинаковых равносторонних треугольников со стороной $a$. Радиус вписанной окружности $r$ является высотой (апофемой) одного из таких треугольников.

Высоту равностороннего треугольника со стороной $a$ можно найти по формуле, вытекающей из теоремы Пифагора:

$r^2 = a^2 - (\frac{a}{2})^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$

Отсюда $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Выразим сторону $a$ через радиус $r$:

$a = \frac{2r}{\sqrt{3}}$

Подставим известное значение радиуса $r = 1 \text{ см}$:

$a = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \text{ см}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$a = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ см}$

Ответ: $a = \frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ см}$.

21.13. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся плоскостей.

Решение

Пусть даны две пересекающиеся плоскости $\alpha$ и $\beta$. Линия их пересечения — прямая $l$. Мы ищем геометрическое место точек (ГМТ), равноудаленных от этих двух плоскостей. Пусть $M$ — произвольная точка, принадлежащая искомому ГМТ. По определению, расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$ равно расстоянию от точки $M$ до плоскости $\beta$. Обозначим эти расстояния как $d(M, \alpha)$ и $d(M, \beta)$. Таким образом, для любой точки $M$ из искомого ГМТ выполняется условие $d(M, \alpha) = d(M, \beta)$.

Рассмотрим произвольную точку $M$, удовлетворяющую этому условию. Проведем через точку $M$ плоскость $\gamma$, перпендикулярную прямой $l$. Пусть плоскость $\gamma$ пересекает прямую $l$ в точке $O$.

Плоскость $\gamma$ пересечет плоскости $\alpha$ и $\beta$ по двум прямым, которые мы обозначим $a$ и $b$ соответственно. Прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\gamma$ и пересекаются в точке $O$.

Докажем, что расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$ равно расстоянию от точки $M$ до прямой $a$ в плоскости $\gamma$. Расстояние $d(M, \alpha)$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на плоскость $\alpha$. Расстояние от $M$ до прямой $a$ в плоскости $\gamma$ — это длина перпендикуляра $MP_a$, опущенного из $M$ на прямую $a$ в плоскости $\gamma$ ($P_a \in a$).

Так как плоскость $\gamma \perp l$ и прямая $l \subset \alpha$, то $l \perp MP_a$. Также, по построению, $MP_a \perp a$. Поскольку прямая $MP_a$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($a$ и $l$) в плоскости $\alpha$, она перпендикулярна всей плоскости $\alpha$. Следовательно, $MP_a$ является перпендикуляром от точки $M$ к плоскости $\alpha$, и его длина равна расстоянию от $M$ до $\alpha$. Таким образом, $d(M, \alpha) = |MP_a|$.

Аналогично доказывается, что расстояние от точки $M$ до плоскости $\beta$ равно расстоянию от точки $M$ до прямой $b$ в плоскости $\gamma$: $d(M, \beta) = |MP_b|$, где $MP_b$ — перпендикуляр, опущенный из $M$ на прямую $b$.

Таким образом, исходное условие $d(M, \alpha) = d(M, \beta)$ для точки $M$ в пространстве эквивалентно условию $|MP_a| = |MP_b|$ для точки $M$ в плоскости $\gamma$. Это означает, что в плоскости $\gamma$ точка $M$ равноудалена от двух пересекающихся прямых $a$ и $b$.

Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, — это пара биссектрис углов, образованных этими прямыми. Эти две биссектрисы взаимно перпендикулярны.

Поскольку наш выбор точки $M$, а следовательно и плоскости $\gamma$, был произвольным (плоскость $\gamma$ может быть проведена перпендикулярно прямой $l$ в любой ее точке $O$), то искомое ГМТ в пространстве состоит из всех таких биссектрис для всех возможных секущих плоскостей $\gamma$. Объединение всех этих биссектрис образует две плоскости.

Эти две плоскости проходят через общую прямую $l$ пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ и делят пополам двугранные углы, образованные этими плоскостями. Такие плоскости называются биссекторными плоскостями. Так как в каждой секущей плоскости $\gamma$ биссектрисы смежных углов перпендикулярны, то и две биссекторные плоскости будут взаимно перпендикулярны.

Следовательно, искомым геометрическим местом точек является пара взаимно перпендикулярных плоскостей, которые делят пополам двугранные углы, образованные данными плоскостями.

Ответ: Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся плоскостей, — это пара взаимно перпендикулярных плоскостей, проходящих через линию пересечения данных плоскостей и делящих пополам двугранные углы, образованные этими плоскостями (биссекторные плоскости).

21.14. В прямую треугольную призму, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, вписана сфера. Найдите высоту этой призмы.

Дано:

Призма - прямая, треугольная.

Основание - прямоугольный треугольник.

Катет основания $a = 3 \text{ см}$

Катет основания $b = 4 \text{ см}$

В призму вписана сфера.

Найти:

Высоту призмы $H$.

Решение:

Поскольку в прямую призму вписана сфера, она касается обоих оснований призмы и всех ее боковых граней.

1. Из условия касания сферы верхнего и нижнего оснований призмы следует, что высота призмы $H$ равна диаметру вписанной сферы $D$.

$H = D = 2R$, где $R$ – радиус вписанной сферы.

2. Проекция центра вписанной сферы на плоскость основания совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник основания. Радиус этой окружности, $r$, равен радиусу самой сферы, $R$. Таким образом, $R = r$.

Следовательно, высота призмы равна диаметру окружности, вписанной в ее основание: $H = 2r$.

3. Основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетами $a = 3 \text{ см}$ и $b = 4 \text{ см}$. Найдем его гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}$.

4. Радиус $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, вычисляется по формуле:

$r = \frac{a + b - c}{2}$

Подставим значения сторон треугольника:

$r = \frac{3 + 4 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1 \text{ см}$.

5. Теперь найдем высоту призмы $H$:

$H = 2r = 2 \cdot 1 = 2 \text{ см}$.

Ответ: $2 \text{ см}$.

21.15. Основанием прямой четырехугольной призмы является ромб, стороны которого равны 1 см, а острый угол равен $60^\circ$. Найдите радиус сферы, вписанной в эту призму.

Дано:

Призма - прямая, четырехугольная.

Основание призмы - ромб.

Сторона ромба, $a = 1 \text{ см}$.

Острый угол ромба, $\alpha = 60^\circ$.

В призму вписана сфера.

Перевод в СИ:

$a = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Радиус вписанной сферы, $R$.

Решение:

Сферу можно вписать в прямую призму только в том случае, если в ее основание можно вписать окружность, и при этом высота призмы равна диаметру этой вписанной окружности. В любой ромб можно вписать окружность. Пусть $r$ - это радиус окружности, вписанной в основание призмы (ромб), а $R$ - это радиус сферы, вписанной в призму.

Для такой призмы радиус вписанной сферы $R$ будет равен радиусу окружности $r$, вписанной в основание. То есть, $R = r$.

Диаметр окружности, вписанной в ромб, равен высоте ромба $h$. Таким образом, $h = 2r$.

Из этих двух соотношений следует, что радиус вписанной сферы $R$ равен половине высоты ромба, который лежит в основании призмы:

$R = r = \frac{h}{2}$.

Теперь найдем высоту ромба $h$. Высоту ромба можно вычислить по формуле, зная его сторону $a$ и острый угол $\alpha$:

$h = a \cdot \sin(\alpha)$.

Подставим известные значения в формулу:

$h = 1 \text{ см} \cdot \sin(60^\circ)$.

Значение синуса $60^\circ$ является табличным: $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Тогда высота ромба равна:

$h = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}$.

Теперь мы можем найти радиус вписанной сферы $R$, который равен половине высоты ромба:

$R = \frac{h}{2} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \text{ см}$.

Ответ: радиус вписанной сферы равен $\frac{\sqrt{3}}{4} \text{ см}$.

21.16. Повторите определение конуса, вписанного в пирамиду, и сферы, вписанной в конус.

Конус, вписанный в пирамиду

Конус называется вписанным в пирамиду, если их вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды.

При этом должны выполняться следующие условия: вершина пирамиды и вершина конуса являются одной и той же точкой; основание конуса (окружность) вписано в многоугольник, являющийся основанием пирамиды, то есть касается всех его сторон; прямая, содержащая высоту конуса, совпадает с прямой, содержащей высоту пирамиды.

Конус можно вписать в пирамиду только в том случае, если в многоугольник ее основания можно вписать окружность, и основание высоты пирамиды совпадает с центром этой окружности. В этом случае все апофемы (высоты боковых граней) пирамиды равны между собой и являются образующими вписанного конуса. Боковая поверхность конуса касается боковых граней пирамиды по этим апофемам.

Ответ: Конус называется вписанным в пирамиду, если их вершины совпадают, а круг основания конуса вписан в многоугольник основания пирамиды. Это возможно, если в основание пирамиды можно вписать окружность и высота пирамиды проектируется в центр этой окружности.

Сфера, вписанная в конус

Сфера называется вписанной в конус, если она касается основания конуса в его центре и касается каждой образующей конуса (то есть касается боковой поверхности конуса).

Основные свойства: центр вписанной сферы лежит на оси (высоте) конуса; сфера касается плоскости основания конуса в его центре; сфера касается боковой поверхности конуса по окружности, которая лежит в плоскости, параллельной основанию конуса.

В любой конус можно вписать сферу. Радиус $r$ вписанной сферы можно найти, рассмотрев осевое сечение конуса. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник с основанием $2R$ (где $R$ - радиус основания конуса) и высотой $H$ (высота конуса). Сечение сферы является окружностью, вписанной в этот треугольник. Радиус этой окружности равен радиусу вписанной сферы. Если $L$ - образующая конуса, то радиус вписанной сферы вычисляется по формуле:

$r = \frac{R \cdot H}{R + L}$, где $L = \sqrt{R^2 + H^2}$.

Ответ: Сфера называется вписанной в конус, если она касается основания конуса и его боковой поверхности. Центр такой сферы находится на оси конуса, а сама сфера касается основания в его центре и боковой поверхности по окружности.