Страница 122 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Около какой пирамиды можно описать сферу?

2. Около какой треугольной пирамиды можно описать сферу?

3. Можно ли описать сферу около правильной пирамиды?

4. Как связаны между собой радиусы сферы и конуса, описанных около пирамиды?

Около какой пирамиды можно описать сферу?

Сферу можно описать около многогранника, в том числе и пирамиды, в том и только в том случае, если все его вершины принадлежат этой сфере. Это равносильно существованию точки в пространстве, называемой центром сферы, которая равноудалена от всех вершин пирамиды.

Рассмотрим вершины основания пирамиды. Если существует сфера, описанная около пирамиды, то все вершины основания лежат на этой сфере. Плоскость основания пересекает сферу по окружности (или в вырожденном случае по точке, что невозможно для основания пирамиды). Следовательно, все вершины основания должны лежать на этой окружности. Это означает, что многоугольник, лежащий в основании пирамиды, должен быть таким, чтобы около него можно было описать окружность (такой многоугольник называют вписанным).

Данное условие является не только необходимым, но и достаточным. Если около многоугольника в основании можно описать окружность, то существует ее центр (назовем его $O_{осн}$) и радиус. Множество точек, равноудаленных от всех вершин основания, — это прямая, перпендикулярная плоскости основания и проходящая через центр $O_{осн}$. На этой прямой всегда найдется точка (назовем ее $O_{сф}$), которая будет равноудалена от вершины пирамиды и от любой из вершин основания. Эта точка $O_{сф}$ и будет центром сферы, описанной около пирамиды. Таким образом, если около основания можно описать окружность, то и около всей пирамиды можно описать сферу.

Ответ: Сферу можно описать около любой пирамиды, основанием которой является многоугольник, вписанный в окружность.

2. Около какой треугольной пирамиды можно описать сферу?

Треугольная пирамида (или тетраэдр) — это пирамида, основанием которой является треугольник. Как известно из планиметрии, около любого треугольника можно описать окружность, причем единственным образом. Центр этой окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Поскольку основанием любой треугольной пирамиды является треугольник, а около любого треугольника можно описать окружность, то согласно критерию из предыдущего пункта (вопрос 1), около любой треугольной пирамиды можно описать сферу.

Ответ: Сферу можно описать около любой треугольной пирамиды.

3. Можно ли описать сферу около правильной пирамиды?

Да, можно. Правильная пирамида — это пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр этого многоугольника.

Любой правильный многоугольник (равносторонний треугольник, квадрат, правильный пятиугольник и т.д.) является вписанным в окружность. То есть, около основания правильной пирамиды всегда можно описать окружность. Согласно критерию из вопроса 1, этого уже достаточно, чтобы утверждать, что около правильной пирамиды можно описать сферу.

Более того, у правильной пирамиды все боковые ребра равны. Центр описанной сферы будет лежать на высоте пирамиды (которая является осью симметрии). Если $H$ — высота пирамиды, а $r$ — радиус окружности, описанной около основания, то радиус описанной сферы $R$ можно найти по формуле $R = \frac{H^2 + r^2}{2H}$. Так как для любой правильной пирамиды $H>0$ и $r>0$, радиус $R$ всегда существует.

Ответ: Да, около любой правильной пирамиды можно описать сферу.

4. Как связаны между собой радиусы сферы и конуса, описанных около пирамиды?

Для того чтобы около пирамиды можно было описать конус, необходимо, чтобы ее основание было вписано в окружность (которая будет основанием конуса), а вершина пирамиды совпадала с вершиной конуса. Это означает, что все боковые ребра пирамиды должны быть равны. В этом случае вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания. Около такой пирамиды можно описать и сферу.

Рассмотрим осевое сечение конуса, проходящее через вершину и диаметр основания. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник. Вершины этого треугольника — это вершина конуса и две диаметрально противоположные точки окружности основания. Поскольку все вершины пирамиды (а значит, и конуса) лежат на описанной сфере, то и вершины этого равнобедренного треугольника лежат на сфере. Сечение сферы плоскостью этого треугольника — это большая окружность сферы (или просто окружность, описанная около треугольника). Таким образом, радиус сферы, описанной около пирамиды/конуса, равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения конуса.

Пусть $R_{конуса}$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота. Осевое сечение — это равнобедренный треугольник с основанием $2R_{конуса}$ и высотой $H$. Боковая сторона этого треугольника (образующая конуса) равна $L = \sqrt{H^2 + R_{конуса}^2}$.

Радиус $R_{сферы}$ окружности, описанной около треугольника со сторонами $a, b, c$ и площадью $S$, вычисляется по формуле $R = \frac{abc}{4S}$. Для нашего треугольника стороны равны $2R_{конуса}$, $L$, $L$. Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot (2R_{конуса}) \cdot H = R_{конуса}H$.

Подставим эти значения в формулу:

$R_{сферы} = \frac{(2R_{конуса}) \cdot L \cdot L}{4 \cdot (R_{конуса}H)} = \frac{2R_{конуса} \cdot (\sqrt{H^2 + R_{конуса}^2})^2}{4R_{конуса}H} = \frac{2R_{конуса}(H^2 + R_{конуса}^2)}{4R_{конуса}H} = \frac{H^2 + R_{конуса}^2}{2H}$.

Ответ: Радиус сферы $R_{сферы}$ и радиус основания конуса $R_{конуса}$, описанных около одной и той же пирамиды с высотой $H$, связаны соотношением: $R_{сферы} = \frac{H^2 + R_{конуса}^2}{2H}$.

20.1. Укажите геометрическое место точек пространства, равноудаленных от двух данных точек.

Решение:

Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек, обладающих определённым свойством. В данном случае, искомое ГМТ — это множество всех точек пространства, для каждой из которых расстояние до одной данной точки равно расстоянию до другой данной точки.

Пусть даны две различные точки в пространстве, назовем их $A$ и $B$. Пусть точка $M$ принадлежит искомому геометрическому месту точек. По определению, это означает, что расстояние от точки $M$ до точки $A$ равно расстоянию от точки $M$ до точки $B$, то есть выполняется равенство $MA = MB$.

Рассмотрим отрезок $AB$, соединяющий данные точки, и его середину, точку $C$. Точка $C$ принадлежит искомому множеству, так как $CA = CB$ по определению середины отрезка.

Для любой точки $M$, удовлетворяющей условию $MA = MB$, треугольник $AMB$ является равнобедренным с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, отрезок $MC$, соединяющий точку $M$ с серединой основания $C$, перпендикулярен основанию $AB$.

Это означает, что любая точка $M$ искомого множества лежит в плоскости, которая проходит через середину отрезка $AB$ и перпендикулярна прямой $AB$.

Докажем обратное: любая точка $M$, лежащая в плоскости, которая перпендикулярна отрезку $AB$ и проходит через его середину $C$, будет равноудалена от точек $A$ и $B$. Для любой такой точки $M$ отрезок $MC$ будет перпендикулярен отрезку $AB$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $AMC$ и $BMC$. У них общий катет $MC$, а катеты $AC$ и $BC$ равны, так как $C$ — середина $AB$. Следовательно, треугольники $AMC$ и $BMC$ равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $MA = MB$.

Таким образом, все точки, равноудаленные от $A$ и $B$, образуют плоскость, перпендикулярную отрезку $AB$ и проходящую через его середину.

Ответ: Геометрическим местом точек пространства, равноудаленных от двух данных точек, является плоскость, проходящая через середину отрезка, соединяющего эти точки, и перпендикулярная этому отрезку.

20.2. По аналогии с рисунками 20.2, 20.3, изобразите:

а) треугольную;

б) четырехугольную;

в) шестиугольную пирамиду, вписанную в сферу.

а) Для того чтобы изобразить треугольную пирамиду, вписанную в сферу, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Изображаем сферу. Для наглядности чертим окружность (которая представляет собой проекцию сферы на плоскость чертежа) и эллипс, изображающий экватор или любое другое большое сечение, чтобы передать объем. Обозначаем центр сферы буквой O.

2. Выбираем плоскость, которая будет пересекать сферу. В сечении образуется окружность. Эта окружность будет описана около основания нашей пирамиды. В проекции на чертеж эта окружность, как правило, изображается в виде эллипса.

3. На этой окружности (эллипсе в проекции) выбираем три точки A, B, и C, которые будут вершинами треугольного основания пирамиды. Соединяем их отрезками. Все три вершины основания лежат на поверхности сферы.

4. Вершина (апекс) пирамиды также должна лежать на сфере. Для правильной пирамиды ее высота проходит через центр сферы O и центр окружности, описанной около основания. Проводим прямую через центр основания и центр сферы O до пересечения с поверхностью сферы. Одна из точек пересечения и будет вершиной пирамиды S.

5. Соединяем вершину S с вершинами основания A, B и C, получая боковые ребра SA, SB и SC.

6. Чтобы придать чертежу объем, невидимые линии (ребра, находящиеся за видимой частью фигуры) изображаем штриховой линией, а видимые — сплошной.

Ответ: Изображение представляет собой сферу, на поверхности которой расположены все четыре вершины треугольной пирамиды (три вершины основания и вершина-апекс).

б) Изображение четырехугольной пирамиды, вписанной в сферу, строится аналогично:

1. Изображаем сферу с центром O.

2. Проводим секущую плоскость, образующую в сечении со сферой окружность. Эта окружность будет служить описанной окружностью для основания пирамиды. В проекции изображаем ее в виде эллипса.

3. Вписываем в эту окружность (эллипс) четырехугольник ABCD. Все его вершины лежат на поверхности сферы. Это основание пирамиды.

4. Находим вершину пирамиды S. Она лежит на сфере и, для правильной пирамиды, на перпендикуляре к плоскости основания, проходящем через центр описанной окружности основания и центр сферы O.

5. Соединяем вершину S с вершинами основания A, B, C и D, чтобы получить боковые ребра.

6. Изображаем невидимые ребра штриховыми линиями, а видимые — сплошными, чтобы показать объемную структуру.

Ответ: Изображение представляет собой сферу, на поверхности которой расположены все пять вершин четырехугольной пирамиды (четыре вершины основания и апекс).

в) Изображение шестиугольной пирамиды, вписанной в сферу, выполняется по тому же принципу:

1. Изображаем сферу с центром O.

2. Выбираем секущую плоскость и полученную в сечении окружность (в проекции — эллипс).

3. В эту окружность вписываем шестиугольник ABCDEF. Все его шесть вершин лежат на поверхности сферы и являются вершинами основания пирамиды.

4. Определяем положение вершины пирамиды S на поверхности сферы. Для правильной пирамиды ее проекция на плоскость основания совпадает с центром основания, а высота проходит через центр сферы O.

5. Соединяем вершину S со всеми шестью вершинами основания A, B, C, D, E, F, формируя боковые ребра.

6. Обозначаем видимые и невидимые ребра сплошными и штриховыми линиями соответственно.

Ответ: Изображение представляет собой сферу, на поверхности которой находятся все семь вершин шестиугольной пирамиды (шесть вершин основания и апекс).

20.3. Найдите радиус сферы, описанной около правильной пирамиды, боковые ребра которой равны 2 см, а высота равна 1 см.

Дано:

Правильная пирамида

Боковое ребро $L = 2$ см

Высота $H = 1$ см

$L = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

$H = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Радиус описанной сферы $R$

Решение:

Для нахождения радиуса сферы, описанной около правильной пирамиды, можно использовать общую формулу, связывающую радиус сферы $R$, высоту пирамиды $H$ и длину бокового ребра $L$.

Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через ее высоту и одно из боковых ребер. Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и радиус $r_b$ окружности, описанной около основания пирамиды, а гипотенузой — боковое ребро $L$. По теореме Пифагора:

$L^2 = H^2 + r_b^2$

Центр описанной сферы $O_с$ лежит на высоте пирамиды (или на ее продолжении), так как пирамида правильная. Расстояние от центра сферы до любой вершины пирамиды равно радиусу $R$.

Рассмотрим расстояние от центра сферы $O_с$ до вершины пирамиды $S$ и до одной из вершин основания $A$. Оба эти расстояния равны $R$.

$O_сS = R$

$O_сA = R$

Пусть $O$ — центр основания пирамиды. Тогда $SO = H$. Расстояние от центра сферы $O_с$ до центра основания $O$ обозначим как $d$. Так как точки $S, O, O_с$ лежат на одной прямой (высоте), то $d = |SO - O_сS|$ или $d = |H - R|$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $O_сOA$, где $O_сO = d$, $OA = r_b$, и гипотенуза $O_сA = R$. По теореме Пифагора:

$R^2 = d^2 + r_b^2$

Подставим в это уравнение $d = |H - R|$ и $r_b^2 = L^2 - H^2$:

$R^2 = (|H - R|)^2 + (L^2 - H^2)$

$R^2 = (H - R)^2 + L^2 - H^2$

$R^2 = H^2 - 2HR + R^2 + L^2 - H^2$

Сокращаем $R^2$ и $H^2$ в обеих частях уравнения:

$0 = -2HR + L^2$

Отсюда выражаем радиус $R$:

$2HR = L^2$

$R = \frac{L^2}{2H}$

Теперь подставим данные из условия задачи в полученную формулу:

$L = 2$ см

$H = 1$ см

$R = \frac{2^2}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Ответ: радиус описанной сферы равен 2 см.

20.4. Найдите радиус сферы, описанной около правильной пирамиды, боковые ребра которой равны 2 см, а радиус окружности, описанной около основания, равен 1 см.

Дано:

Пирамида - правильная
Длина бокового ребра $l = 2$ см
Радиус окружности, описанной около основания, $r_{осн} = 1$ см

Перевод в СИ:
$l = 0.02$ м
$r_{осн} = 0.01$ м

Найти:

Радиус описанной сферы $R_{сф}$

Решение:

Центр сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на ее высоте. Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через высоту пирамиды $SO$ и одно из ее боковых ребер, например, $SA$. В этом сечении $S$ – вершина пирамиды, $O$ – центр основания (центр описанной окружности), $A$ – одна из вершин основания.

Полученный треугольник $SOA$ является прямоугольным, где:
$SA$ – боковое ребро, которое является гипотенузой, $SA = l = 2$ см.
$OA$ – радиус окружности, описанной около основания, который является катетом, $OA = r_{осн} = 1$ см.
$SO$ – высота пирамиды $H$, которая является вторым катетом.

Используя теорему Пифагора, найдем высоту пирамиды $H$:
$SA^2 = SO^2 + OA^2$
$l^2 = H^2 + r_{осн}^2$
$H^2 = l^2 - r_{осн}^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$
$H = \sqrt{3}$ см.

Радиус $R_{сф}$ сферы, описанной около правильной пирамиды, можно найти по формуле, которая связывает его с высотой пирамиды $H$ и длиной бокового ребра $l$:
$R_{сф} = \frac{l^2}{2H}$

Данная формула следует из того, что центр описанной сферы $K$ равноудален от всех вершин пирамиды и лежит на ее высоте $SO$. Если рассмотреть треугольник, образованный боковым ребром $l$ и диаметром описанной окружности основания ($2r_{осн}$), то радиус окружности, описанной около этого треугольника, и будет радиусом описанной сферы. По формуле радиуса описанной окружности ($R = \frac{abc}{4S_{тр}}$) для треугольника со сторонами $l, l, 2r_{осн}$ и высотой $H$ к стороне $2r_{осн}$, имеем:
$R_{сф} = \frac{l \cdot l \cdot 2r_{осн}}{4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2r_{осн} \cdot H} = \frac{2l^2r_{осн}}{4r_{осн}H} = \frac{l^2}{2H}$.

Подставим известные значения в полученную формулу:
$R_{сф} = \frac{2^2}{2 \cdot \sqrt{3}} = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Для получения окончательного ответа избавимся от иррациональности в знаменателе дроби:
$R_{сф} = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: радиус сферы равен $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

самой около основания, равен 1 см.

20.5. Найдите радиус сферы, описанной около правильной пирамиды,

высота которой равна 2 см, а радиус окружности, описанной

около ее основания, равен 1 см.

Дано:

Высота правильной пирамиды $h = 2$ см.

Радиус окружности, описанной около ее основания, $r_{осн} = 1$ см.

$h = 0.02$ м.

$r_{осн} = 0.01$ м.

Найти:

Радиус описанной сферы $R$.

Решение:

Центр сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на ее высоте. Обозначим вершину пирамиды как $S$, а центр ее основания как $O$. Тогда высота пирамиды — это отрезок $SO$, и по условию $SO = h = 2$ см. Пусть $A$ — одна из вершин основания пирамиды. Тогда $OA$ — это радиус окружности, описанной около основания, и $OA = r_{осн} = 1$ см.

Пусть центр описанной сферы — точка $O_1$, а ее радиус — $R$. Так как точка $O_1$ лежит на высоте $SO$, она равноудалена от всех вершин основания. Расстояние от центра сферы до любой вершины пирамиды равно радиусу $R$. Таким образом, $O_1S = O_1A = R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. Он образован высотой пирамиды $SO$, радиусом основания $OA$ и боковым ребром $SA$.

Пусть расстояние от центра сферы $O_1$ до центра основания $O$ равно $x$, то есть $O_1O = x$. Точка $O_1$ лежит на отрезке $SO$, поэтому расстояние от $O_1$ до вершины $S$ равно $O_1S = SO - O_1O = h - x$. Следовательно, $R = h - x$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $O_1OA$. Его катеты — $O_1O = x$ и $OA = r_{осн}$. Гипотенуза $O_1A$ равна радиусу сферы $R$. По теореме Пифагора:

$O_1A^2 = O_1O^2 + OA^2$

$R^2 = x^2 + r_{осн}^2$

Мы получили систему уравнений:

$R = h - x$

$R^2 = x^2 + r_{осн}^2$

Подставим выражение для $R$ из первого уравнения во второе:

$(h - x)^2 = x^2 + r_{осн}^2$

Раскроем скобки:

$h^2 - 2hx + x^2 = x^2 + r_{осн}^2$

Сократим $x^2$ в обеих частях уравнения:

$h^2 - 2hx = r_{осн}^2$

Из этого уравнения можно вывести общую формулу для радиуса описанной сферы. Для этого выразим $x$:

$2hx = h^2 - r_{осн}^2$

$x = \frac{h^2 - r_{осн}^2}{2h}$

Теперь подставим найденное значение $x$ в формулу для радиуса $R = h - x$:

$R = h - \frac{h^2 - r_{осн}^2}{2h} = \frac{2h^2 - (h^2 - r_{осн}^2)}{2h} = \frac{2h^2 - h^2 + r_{осн}^2}{2h} = \frac{h^2 + r_{осн}^2}{2h}$

Подставим в полученную формулу числовые значения из условия ($h = 2$ см, $r_{осн} = 1$ см):

$R = \frac{2^2 + 1^2}{2 \cdot 2} = \frac{4 + 1}{4} = \frac{5}{4} = 1.25$ см.

Ответ: $1.25$ см.

20.6. Найдите радиус сферы, описанной около правильного тетраэдра с ребром 1 см.

Дано:
Правильный тетраэдр
Длина ребра $a = 1$ см

$a = 0.01$ м

Найти:
Радиус описанной сферы $R$ - ?

Решение:

Радиус $R$ сферы, описанной около правильного тетраэдра с ребром $a$, связан с длиной ребра формулой $R = a \frac{\sqrt{6}}{4}$. Для полноты решения выведем эту формулу.

1. Центр описанной сферы $O$ для правильного тетраэдра совпадает с его центром тяжести (центроидом). Этот центр лежит на высоте тетраэдра $H$ и делит её в отношении 3:1, считая от вершины. Радиус описанной сферы $R$ равен большему из этих отрезков, то есть $R = \frac{3}{4}H$.

2. Чтобы найти $R$, сначала определим высоту тетраэдра $H$. Пусть основанием тетраэдра является правильный треугольник ABC, а вершиной — точка D. Высота тетраэдра $H$ — это перпендикуляр DM, опущенный из вершины D на плоскость основания ABC. Точка M является центром треугольника ABC.

3. Расстояние от любой вершины основания (например, A) до центра основания M — это радиус окружности, описанной около правильного треугольника ABC. Обозначим его $r_{о}$. Он вычисляется через сторону треугольника $a$ по формуле: $r_{о} = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADM. Его гипотенуза — это боковое ребро тетраэдра $AD = a$. Один катет — это расстояние от вершины основания до его центра $AM = r_{о} = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Другой катет — это высота тетраэдра $DM = H$.

5. Применим теорему Пифагора к треугольнику ADM: $AD^2 = AM^2 + DM^2$, или $a^2 = r_{о}^2 + H^2$.
Подставим в это уравнение выражение для $r_{о}$:
$a^2 = \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 + H^2$
$a^2 = \frac{a^2}{3} + H^2$
Отсюда найдем квадрат высоты:
$H^2 = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{3a^2 - a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$
Следовательно, высота тетраэдра равна:
$H = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = a\sqrt{\frac{2}{3}}$

6. Теперь, зная высоту $H$, можем найти радиус описанной сферы $R$ из соотношения $R = \frac{3}{4}H$:
$R = \frac{3}{4}H = \frac{3}{4} \cdot a\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{3a}{4} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot a \cdot \sqrt{2}}{4 \sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}\sqrt{2}}{4} = \frac{a\sqrt{6}}{4}$.

7. Подставим в полученную формулу заданное значение длины ребра $a = 1$ см:
$R = \frac{1 \cdot \sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{4}$ см.

Ответ: $R = \frac{\sqrt{6}}{4}$ см.

20.7. Найдите ребро правильного тетраэдра, вписанного в единичную сферу.

Дано:

Правильный тетраэдр вписан в единичную сферу. Радиус описанной сферы $R = 1$.

Найти:

Длину ребра тетраэдра $a$.

Решение:

Связь между радиусом $R$ сферы, описанной около правильного тетраэдра, и длиной его ребра $a$ выражается известной формулой:

$R = a \frac{\sqrt{6}}{4}$

Согласно условию задачи, тетраэдр вписан в единичную сферу, что означает, что ее радиус равен единице, то есть $R=1$. Подставим это значение в формулу:

20.8. Найдите радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной пирамиды, все ребра которой равны 1 см.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.
Все ребра равны $a = 1$ см.

Найти:

Радиус описанной сферы $R$.

Решение:

Пусть $SABCD$ - данная правильная четырехугольная пирамида. В ее основании лежит квадрат $ABCD$ со стороной $a=1$ см, а $S$ - ее вершина. По условию, все ребра пирамиды равны, то есть и стороны основания, и боковые ребра равны $1$ см.

Центр сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на ее высоте. Рассмотрим диагональное сечение пирамиды, проходящее через вершину $S$ и диагональ основания $AC$. Это сечение представляет собой треугольник $SAC$. Все вершины этого треугольника лежат на описанной сфере.

Найдем длины сторон треугольника $SAC$. Боковые стороны $SA$ и $SC$ являются боковыми ребрами пирамиды, следовательно, их длина равна $a=1$ см. Сторона $AC$ является диагональю квадрата $ABCD$ со стороной $a=1$ см. Длину диагонали квадрата найдем по теореме Пифагора: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.

Теперь проверим, является ли треугольник $SAC$ прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора. Сравним сумму квадратов двух меньших сторон с квадратом большей стороны: $SA^2 + SC^2 = 1^2 + 1^2 = 2$. $AC^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.

Так как $SA^2 + SC^2 = AC^2$, то треугольник $SAC$ является прямоугольным, а его прямой угол - $\angle ASC = 90^\circ$.

Центр сферы, описанной около пирамиды, должен быть равноудален от всех ее вершин. В частности, он должен быть равноудален от вершин $S$, $A$ и $C$. Это означает, что центр описанной сферы совпадает с центром окружности, описанной около треугольника $SAC$.

Как известно, центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине его гипотенузы. В нашем случае гипотенузой является диагональ $AC$.

Следовательно, радиус $R$ описанной сферы равен половине длины гипотенузы $AC$: $R = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Ответ: $R = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

20.9. Найдите радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2 см, высота равна 1 см.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида
Сторона основания, $a = 2$ см
Высота, $H = 1$ см

Перевод в систему СИ:
$a = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$H = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Радиус описанной сферы, $R$.

Решение:

Центр сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на ее высоте. Для нахождения радиуса сферы $R$ воспользуемся формулой $R = \frac{b^2}{2H}$, где $b$ — длина бокового ребра, а $H$ — высота пирамиды.

Квадрат бокового ребра $b^2$ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и половина диагонали основания $d/2$, а гипотенузой — боковое ребро $b$. Формула имеет вид: $b^2 = H^2 + (\frac{d}{2})^2$.

В основании пирамиды лежит квадрат со стороной $a=2$ см, поэтому его диагональ $d$ вычисляется как $d = a\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Следовательно, половина диагонали равна $\frac{d}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ см.

Теперь можем вычислить квадрат бокового ребра, подставив известные значения в теорему Пифагора: $b^2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3 \text{ см}^2$.

Наконец, подставим найденные значения $b^2=3 \text{ см}^2$ и $H=1$ см в формулу для радиуса описанной сферы: $R = \frac{b^2}{2H} = \frac{3}{2 \cdot 1} = 1.5$ см.

Ответ: 1,5 см.

20.10. Найдите радиус сферы, описанной около правильной шестиугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1 см, а боковые ребра равны 2 см.

Дано:

Пирамида - правильная шестиугольная.
Сторона основания $a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.
Боковое ребро $l = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$.

Найти:

Радиус описанной сферы $R$.

Решение:

Центр сферы, описанной около правильной шестиугольной пирамиды, лежит на ее высоте. Обозначим радиус описанной сферы как $R$.

1. В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник. Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника ($r_b$), равен его стороне $a$.
$r_b = a = 1 \text{ см}$.

2. Найдем высоту пирамиды $H$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром $l$ (гипотенуза) и радиусом описанной около основания окружности $r_b$ (катет).
По теореме Пифагора:
$H^2 + r_b^2 = l^2$
$H^2 = l^2 - r_b^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$
$H = \sqrt{3} \text{ см}$.

3. Радиус $R$ описанной сферы для правильной пирамиды можно найти по формуле:
$R = \frac{l^2}{2H}$
Подставим известные значения $l$ и $H$:
$R = \frac{2^2}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$R = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ см}$.

Альтернативный способ (через сечение):
Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через две противоположные вершины основания. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник. Окружность, описанная около этого треугольника, является большим кругом описанной сферы, и ее радиус равен $R$.
Основание этого треугольника равно $2r_b = 2 \cdot 1 = 2 \text{ см}$. Боковые стороны равны боковым ребрам пирамиды $l = 2 \text{ см}$.
Таким образом, сечение является равносторонним треугольником со стороной 2 см.
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $b$, вычисляется по формуле $R = \frac{b}{\sqrt{3}}$.
В нашем случае $b = 2$ см.
$R = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ см}$.
Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

20.11. Найдите радиус сферы, описанной около правильной шестиугольной пирамиды, стороны основания и высота которой равны 1 см.

Дано:

Пирамида — правильная шестиугольная.
Сторона основания $a = 1$ см.
Высота пирамиды $h = 1$ см.

Перевод в систему СИ не требуется, так как все величины даны в сантиметрах.

Найти:

Радиус описанной сферы $R$.

Решение:

Центр сферы, описанной около правильной пирамиды, всегда лежит на ее высоте. Обозначим вершину пирамиды как $S$, а центр ее основания (правильного шестиугольника) — как $H$. Высота пирамиды — это отрезок $SH$, и по условию ее длина $h = 1$ см.

Пусть $O$ — центр описанной сферы, а $R$ — ее радиус. Поскольку все вершины пирамиды должны быть равноудалены от центра сферы $O$, то расстояния от $O$ до вершины $S$ и до любой вершины основания (например, $A$) равны радиусу $R$: $OS = OA = R$.

Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через вершину $S$ и диаметр описанной около основания окружности, например, через вершины основания $A$ и $D$. В сечении получим равнобедренный треугольник $ASD$. Его высота $SH$ является высотой пирамиды, а точка $O$ лежит на этой высоте.

В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник со стороной $a=1$ см. Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне. Обозначим этот радиус как $r_{осн}$. Таким образом, расстояние от центра основания $H$ до любой его вершины равно: $r_{осн} = HA = a = 1$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $OHA$. Его катеты — это $OH$ и $HA$, а гипотенуза — $OA$. По теореме Пифагора: $OA^2 = OH^2 + HA^2$

Подставим известные значения $OA = R$ и $HA = 1$: $R^2 = OH^2 + 1^2$

Точка $O$ лежит на прямой, содержащей высоту $SH$. Расстояние $OH$ можно выразить через высоту $h$ и радиус $R$. Так как $OS = R$ и $SH = h = 1$, то расстояние $OH = |SH - OS| = |h - R| = |1 - R|$.

Подставим это выражение в полученное уравнение: $R^2 = (|1 - R|)^2 + 1$

Поскольку $(|x|)^2 = x^2$, можем раскрыть скобки: $R^2 = (1 - R)^2 + 1$ $R^2 = 1 - 2R + R^2 + 1$

Вычтем $R^2$ из обеих частей уравнения: $0 = 1 - 2R + 1$ $0 = 2 - 2R$ $2R = 2$ $R = 1$ см.

Можно также применить общую формулу для радиуса сферы, описанной около правильной $n$-угольной пирамиды: $R = \frac{r_{осн}^2 + h^2}{2h}$

Подставим в нее наши данные: $h=1$ см и $r_{осн}=1$ см. $R = \frac{1^2 + 1^2}{2 \cdot 1} = \frac{1+1}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

Результаты, полученные двумя способами, совпадают.

Ответ: $1$ см.

20.12. Боковое ребро правильной пирамиды равно 1 см и образует угол с плоскостью основания этой пирамиды:

а) $30^{\circ}$;

б) $45^{\circ}$;

в) $60^{\circ}$.

Найдите радиус сферы, описанной около этой пирамиды.

Дано:

Боковое ребро правильной пирамиды $l = 1$ см.

Угол, который боковое ребро образует с плоскостью основания:

а) $\alpha = 30^\circ$

б) $\alpha = 45^\circ$

в) $\alpha = 60^\circ$

$l = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Радиус описанной сферы $R$ для каждого случая.

Решение:

Центр сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на ее высоте. Радиус $R$ такой сферы можно найти по формуле, связывающей его с длиной бокового ребра $l$ и высотой пирамиды $H$. Формула имеет вид: $R = \frac{l^2}{2H}$.

Высота пирамиды $H$ связана с боковым ребром $l$ и углом $\alpha$ его наклона к плоскости основания соотношением $H = l \sin \alpha$. Это следует из рассмотрения прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром (гипотенуза), высотой пирамиды и проекцией бокового ребра на основание (катеты).

Подставим выражение для высоты в формулу для радиуса:

$R = \frac{l^2}{2(l \sin \alpha)} = \frac{l}{2 \sin \alpha}$

Используем эту общую формулу для решения задачи для каждого из данных углов, подставляя $l = 1$ см.

а) При $\alpha = 30^\circ$:

$R = \frac{1}{2 \sin 30^\circ} = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{1}{1} = 1$ см.

Ответ: 1 см.

б) При $\alpha = 45^\circ$:

$R = \frac{1}{2 \sin 45^\circ} = \frac{1}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

в) При $\alpha = 60^\circ$:

$R = \frac{1}{2 \sin 60^\circ} = \frac{1}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$ см.