Номер 20.1, страница 122 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

20.1. Укажите геометрическое место точек пространства, равноудаленных от двух данных точек.

Решение:

Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек, обладающих определённым свойством. В данном случае, искомое ГМТ — это множество всех точек пространства, для каждой из которых расстояние до одной данной точки равно расстоянию до другой данной точки.

Пусть даны две различные точки в пространстве, назовем их $A$ и $B$. Пусть точка $M$ принадлежит искомому геометрическому месту точек. По определению, это означает, что расстояние от точки $M$ до точки $A$ равно расстоянию от точки $M$ до точки $B$, то есть выполняется равенство $MA = MB$.

Рассмотрим отрезок $AB$, соединяющий данные точки, и его середину, точку $C$. Точка $C$ принадлежит искомому множеству, так как $CA = CB$ по определению середины отрезка.

Для любой точки $M$, удовлетворяющей условию $MA = MB$, треугольник $AMB$ является равнобедренным с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, отрезок $MC$, соединяющий точку $M$ с серединой основания $C$, перпендикулярен основанию $AB$.

Это означает, что любая точка $M$ искомого множества лежит в плоскости, которая проходит через середину отрезка $AB$ и перпендикулярна прямой $AB$.

Докажем обратное: любая точка $M$, лежащая в плоскости, которая перпендикулярна отрезку $AB$ и проходит через его середину $C$, будет равноудалена от точек $A$ и $B$. Для любой такой точки $M$ отрезок $MC$ будет перпендикулярен отрезку $AB$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $AMC$ и $BMC$. У них общий катет $MC$, а катеты $AC$ и $BC$ равны, так как $C$ — середина $AB$. Следовательно, треугольники $AMC$ и $BMC$ равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $MA = MB$.

Таким образом, все точки, равноудаленные от $A$ и $B$, образуют плоскость, перпендикулярную отрезку $AB$ и проходящую через его середину.

Ответ: Геометрическим местом точек пространства, равноудаленных от двух данных точек, является плоскость, проходящая через середину отрезка, соединяющего эти точки, и перпендикулярная этому отрезку.