Задания, страница 121 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Выразите радиус $R$ сферы, описанной около пирамиды, через высоту $h$ и радиус $r$ окружности, описанной около основания пирамиды.

Дано:

$h$ - высота пирамиды

$r$ - радиус окружности, описанной около основания пирамиды

$R$ - радиус сферы, описанной около пирамиды

Найти:

Выразить $R$ через $h$ и $r$.

Решение:

Для того чтобы около пирамиды можно было описать сферу, необходимо, чтобы около ее основания можно было описать окружность. Это условие дано в задаче. Центр $O$ описанной сферы равноудален от всех вершин пирамиды.

Из условия равноудаленности центра сферы $O$ от всех вершин основания следует, что он лежит на прямой, перпендикулярной плоскости основания и проходящей через центр $O_1$ окружности, описанной около основания.

В общем случае высота пирамиды не обязана совпадать с этой прямой. Однако, поскольку в условии требуется выразить $R$ только через $h$ и $r$, это подразумевает стандартную конфигурацию, в которой вершина пирамиды проектируется в центр $O_1$ описанной около основания окружности. В этом случае высота пирамиды лежит на вышеупомянутой перпендикулярной прямой.

Рассмотрим осевое сечение, проходящее через высоту пирамиды $VO_1$ и одну из вершин основания $A$. В этом сечении будут находиться:

- Вершина пирамиды $V$.

- Центр $O_1$ окружности, описанной около основания (он же – основание высоты).

- Одна из вершин основания $A$.

- Центр $O$ описанной сферы, который лежит на высоте $VO_1$.

По условию, $VO_1 = h$ (высота пирамиды) и $O_1A = r$ (радиус окружности, описанной около основания).

Треугольник $VO_1A$ является прямоугольным, так как $VO_1 \perp O_1A$.

Радиус описанной сферы $R$ – это расстояние от ее центра $O$ до любой вершины пирамиды. Следовательно, $OV = OA = R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OO_1A$. Его катеты – это $O_1A = r$ и $OO_1$. Гипотенуза – $OA = R$. По теореме Пифагора:

$OA^2 = O_1A^2 + OO_1^2$

$R^2 = r^2 + OO_1^2$ (1)

Точки $V$, $O$, $O_1$ лежат на одной прямой (высоте). Расстояние $VO_1 = h$. Расстояние $OV$ равно $R$. Расстояние $OO_1$ можно выразить через $h$ и $R$. Возможны два случая расположения точки $O$ на прямой $VO_1$:

1. Точка $O$ лежит между $V$ и $O_1$. Тогда $VO_1 = VO + OO_1$, то есть $h = R + OO_1$, откуда $OO_1 = h - R$.

2. Точка $O_1$ лежит между $V$ и $O$. Тогда $VO = VO_1 + O_1O$, то есть $R = h + OO_1$, откуда $OO_1 = R - h$.

В обоих случаях $OO_1^2 = (h - R)^2$.

Подставим это выражение для $OO_1^2$ в уравнение (1):

$R^2 = r^2 + (h - R)^2$

Раскроем скобки:

$R^2 = r^2 + h^2 - 2hR + R^2$

Сократим $R^2$ в обеих частях уравнения:

$0 = r^2 + h^2 - 2hR$

Выразим $R$:

$2hR = h^2 + r^2$

$R = \frac{h^2 + r^2}{2h}$

Ответ: $R = \frac{h^2 + r^2}{2h}$