Задания, страница 121 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Выразите радиус $R$ сферы, описанной около пирамиды, через высоту $h$ и радиус $r$ окружности, описанной около основания пирамиды.

Дано:

`h` - высота пирамиды

`r` - радиус окружности, описанной около основания пирамиды

`R` - радиус сферы, описанной около пирамиды

Найти:

Выразить `R` через `h` и `r`.

Решение:

Для того чтобы около пирамиды можно было описать сферу, необходимо, чтобы около ее основания можно было описать окружность. Это условие дано в задаче. Центр `O` описанной сферы равноудален от всех вершин пирамиды.

Из условия равноудаленности центра сферы `O` от всех вершин основания следует, что он лежит на прямой, перпендикулярной плоскости основания и проходящей через центр `O_1` окружности, описанной около основания.

В общем случае высота пирамиды не обязана совпадать с этой прямой. Однако, поскольку в условии требуется выразить `R` только через `h` и `r`, это подразумевает стандартную конфигурацию, в которой вершина пирамиды проектируется в центр `O_1` описанной около основания окружности. В этом случае высота пирамиды лежит на вышеупомянутой перпендикулярной прямой.

Рассмотрим осевое сечение, проходящее через высоту пирамиды `VO_1` и одну из вершин основания `A`. В этом сечении будут находиться:

- Вершина пирамиды `V`.

- Центр `O_1` окружности, описанной около основания (он же – основание высоты).

- Одна из вершин основания `A`.

- Центр `O` описанной сферы, который лежит на высоте `VO_1`.

По условию, `VO_1 = h` (высота пирамиды) и `O_1A = r` (радиус окружности, описанной около основания).

Треугольник `VO_1A` является прямоугольным, так как `VO_1 \perp O_1A`.

Радиус описанной сферы `R` – это расстояние от ее центра `O` до любой вершины пирамиды. Следовательно, `OV = OA = R`.

Рассмотрим прямоугольный треугольник `OO_1A`. Его катеты – это `O_1A = r` и `OO_1`. Гипотенуза – `OA = R`. По теореме Пифагора:

`OA^2 = O_1A^2 + OO_1^2`

`R^2 = r^2 + OO_1^2` (1)

Точки `V`, `O`, `O_1` лежат на одной прямой (высоте). Расстояние `VO_1 = h`. Расстояние `OV` равно `R`. Расстояние `OO_1` можно выразить через `h` и `R`. Возможны два случая расположения точки `O` на прямой `VO_1`:

1. Точка `O` лежит между `V` и `O_1`. Тогда `VO_1 = VO + OO_1`, то есть `h = R + OO_1`, откуда `OO_1 = h - R`.

2. Точка `O_1` лежит между `V` и `O`. Тогда `VO = VO_1 + O_1O`, то есть `R = h + OO_1`, откуда `OO_1 = R - h`.

В обоих случаях `OO_1^2 = (h - R)^2`.

Подставим это выражение для `OO_1^2` в уравнение (1):

`R^2 = r^2 + (h - R)^2`

Раскроем скобки:

`R^2 = r^2 + h^2 - 2hR + R^2`

Сократим `R^2` в обеих частях уравнения:

`0 = r^2 + h^2 - 2hR`

Выразим `R`:

`2hR = h^2 + r^2`

`R = \frac{h^2 + r^2}{2h}`

Ответ: `R = \frac{h^2 + r^2}{2h}`