Вопросы, страница 122 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Около какой пирамиды можно описать сферу?

2. Около какой треугольной пирамиды можно описать сферу?

3. Можно ли описать сферу около правильной пирамиды?

4. Как связаны между собой радиусы сферы и конуса, описанных около пирамиды?

Около какой пирамиды можно описать сферу?

Сферу можно описать около многогранника, в том числе и пирамиды, в том и только в том случае, если все его вершины принадлежат этой сфере. Это равносильно существованию точки в пространстве, называемой центром сферы, которая равноудалена от всех вершин пирамиды.

Рассмотрим вершины основания пирамиды. Если существует сфера, описанная около пирамиды, то все вершины основания лежат на этой сфере. Плоскость основания пересекает сферу по окружности (или в вырожденном случае по точке, что невозможно для основания пирамиды). Следовательно, все вершины основания должны лежать на этой окружности. Это означает, что многоугольник, лежащий в основании пирамиды, должен быть таким, чтобы около него можно было описать окружность (такой многоугольник называют вписанным).

Данное условие является не только необходимым, но и достаточным. Если около многоугольника в основании можно описать окружность, то существует ее центр (назовем его $O_{осн}$) и радиус. Множество точек, равноудаленных от всех вершин основания, — это прямая, перпендикулярная плоскости основания и проходящая через центр $O_{осн}$. На этой прямой всегда найдется точка (назовем ее $O_{сф}$), которая будет равноудалена от вершины пирамиды и от любой из вершин основания. Эта точка $O_{сф}$ и будет центром сферы, описанной около пирамиды. Таким образом, если около основания можно описать окружность, то и около всей пирамиды можно описать сферу.

Ответ: Сферу можно описать около любой пирамиды, основанием которой является многоугольник, вписанный в окружность.

2. Около какой треугольной пирамиды можно описать сферу?

Треугольная пирамида (или тетраэдр) — это пирамида, основанием которой является треугольник. Как известно из планиметрии, около любого треугольника можно описать окружность, причем единственным образом. Центр этой окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Поскольку основанием любой треугольной пирамиды является треугольник, а около любого треугольника можно описать окружность, то согласно критерию из предыдущего пункта (вопрос 1), около любой треугольной пирамиды можно описать сферу.

Ответ: Сферу можно описать около любой треугольной пирамиды.

3. Можно ли описать сферу около правильной пирамиды?

Да, можно. Правильная пирамида — это пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр этого многоугольника.

Любой правильный многоугольник (равносторонний треугольник, квадрат, правильный пятиугольник и т.д.) является вписанным в окружность. То есть, около основания правильной пирамиды всегда можно описать окружность. Согласно критерию из вопроса 1, этого уже достаточно, чтобы утверждать, что около правильной пирамиды можно описать сферу.

Более того, у правильной пирамиды все боковые ребра равны. Центр описанной сферы будет лежать на высоте пирамиды (которая является осью симметрии). Если $H$ — высота пирамиды, а $r$ — радиус окружности, описанной около основания, то радиус описанной сферы $R$ можно найти по формуле $R = \frac{H^2 + r^2}{2H}$. Так как для любой правильной пирамиды $H>0$ и $r>0$, радиус $R$ всегда существует.

Ответ: Да, около любой правильной пирамиды можно описать сферу.

4. Как связаны между собой радиусы сферы и конуса, описанных около пирамиды?

Для того чтобы около пирамиды можно было описать конус, необходимо, чтобы ее основание было вписано в окружность (которая будет основанием конуса), а вершина пирамиды совпадала с вершиной конуса. Это означает, что все боковые ребра пирамиды должны быть равны. В этом случае вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания. Около такой пирамиды можно описать и сферу.

Рассмотрим осевое сечение конуса, проходящее через вершину и диаметр основания. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник. Вершины этого треугольника — это вершина конуса и две диаметрально противоположные точки окружности основания. Поскольку все вершины пирамиды (а значит, и конуса) лежат на описанной сфере, то и вершины этого равнобедренного треугольника лежат на сфере. Сечение сферы плоскостью этого треугольника — это большая окружность сферы (или просто окружность, описанная около треугольника). Таким образом, радиус сферы, описанной около пирамиды/конуса, равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения конуса.

Пусть $R_{конуса}$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота. Осевое сечение — это равнобедренный треугольник с основанием $2R_{конуса}$ и высотой $H$. Боковая сторона этого треугольника (образующая конуса) равна $L = \sqrt{H^2 + R_{конуса}^2}$.

Радиус $R_{сферы}$ окружности, описанной около треугольника со сторонами $a, b, c$ и площадью $S$, вычисляется по формуле $R = \frac{abc}{4S}$. Для нашего треугольника стороны равны $2R_{конуса}$, $L$, $L$. Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot (2R_{конуса}) \cdot H = R_{конуса}H$.

Подставим эти значения в формулу:

$R_{сферы} = \frac{(2R_{конуса}) \cdot L \cdot L}{4 \cdot (R_{конуса}H)} = \frac{2R_{конуса} \cdot (\sqrt{H^2 + R_{конуса}^2})^2}{4R_{конуса}H} = \frac{2R_{конуса}(H^2 + R_{конуса}^2)}{4R_{конуса}H} = \frac{H^2 + R_{конуса}^2}{2H}$.

Ответ: Радиус сферы $R_{сферы}$ и радиус основания конуса $R_{конуса}$, описанных около одной и той же пирамиды с высотой $H$, связаны соотношением: $R_{сферы} = \frac{H^2 + R_{конуса}^2}{2H}$.