Номер 20.5, страница 122 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

самой около основания, равен 1 см.

20.5. Найдите радиус сферы, описанной около правильной пирамиды,

высота которой равна 2 см, а радиус окружности, описанной

около ее основания, равен 1 см.

Дано:

Высота правильной пирамиды $h = 2$ см.

Радиус окружности, описанной около ее основания, $r_{осн} = 1$ см.

$h = 0.02$ м.

$r_{осн} = 0.01$ м.

Найти:

Радиус описанной сферы $R$.

Решение:

Центр сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на ее высоте. Обозначим вершину пирамиды как $S$, а центр ее основания как $O$. Тогда высота пирамиды — это отрезок $SO$, и по условию $SO = h = 2$ см. Пусть $A$ — одна из вершин основания пирамиды. Тогда $OA$ — это радиус окружности, описанной около основания, и $OA = r_{осн} = 1$ см.

Пусть центр описанной сферы — точка $O_1$, а ее радиус — $R$. Так как точка $O_1$ лежит на высоте $SO$, она равноудалена от всех вершин основания. Расстояние от центра сферы до любой вершины пирамиды равно радиусу $R$. Таким образом, $O_1S = O_1A = R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. Он образован высотой пирамиды $SO$, радиусом основания $OA$ и боковым ребром $SA$.

Пусть расстояние от центра сферы $O_1$ до центра основания $O$ равно $x$, то есть $O_1O = x$. Точка $O_1$ лежит на отрезке $SO$, поэтому расстояние от $O_1$ до вершины $S$ равно $O_1S = SO - O_1O = h - x$. Следовательно, $R = h - x$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $O_1OA$. Его катеты — $O_1O = x$ и $OA = r_{осн}$. Гипотенуза $O_1A$ равна радиусу сферы $R$. По теореме Пифагора:

$O_1A^2 = O_1O^2 + OA^2$

$R^2 = x^2 + r_{осн}^2$

Мы получили систему уравнений:

$R = h - x$

$R^2 = x^2 + r_{осн}^2$

Подставим выражение для $R$ из первого уравнения во второе:

$(h - x)^2 = x^2 + r_{осн}^2$

Раскроем скобки:

$h^2 - 2hx + x^2 = x^2 + r_{осн}^2$

Сократим $x^2$ в обеих частях уравнения:

$h^2 - 2hx = r_{осн}^2$

Из этого уравнения можно вывести общую формулу для радиуса описанной сферы. Для этого выразим $x$:

$2hx = h^2 - r_{осн}^2$

$x = \frac{h^2 - r_{осн}^2}{2h}$

Теперь подставим найденное значение $x$ в формулу для радиуса $R = h - x$:

$R = h - \frac{h^2 - r_{осн}^2}{2h} = \frac{2h^2 - (h^2 - r_{осн}^2)}{2h} = \frac{2h^2 - h^2 + r_{осн}^2}{2h} = \frac{h^2 + r_{осн}^2}{2h}$

Подставим в полученную формулу числовые значения из условия ($h = 2$ см, $r_{осн} = 1$ см):

$R = \frac{2^2 + 1^2}{2 \cdot 2} = \frac{4 + 1}{4} = \frac{5}{4} = 1.25$ см.

Ответ: $1.25$ см.