Номер 20.8, страница 122 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

20.8. Найдите радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной пирамиды, все ребра которой равны 1 см.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.
Все ребра равны $a = 1$ см.

Найти:

Радиус описанной сферы $R$.

Решение:

Пусть $SABCD$ - данная правильная четырехугольная пирамида. В ее основании лежит квадрат $ABCD$ со стороной $a=1$ см, а $S$ - ее вершина. По условию, все ребра пирамиды равны, то есть и стороны основания, и боковые ребра равны $1$ см.

Центр сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на ее высоте. Рассмотрим диагональное сечение пирамиды, проходящее через вершину $S$ и диагональ основания $AC$. Это сечение представляет собой треугольник $SAC$. Все вершины этого треугольника лежат на описанной сфере.

Найдем длины сторон треугольника $SAC$. Боковые стороны $SA$ и $SC$ являются боковыми ребрами пирамиды, следовательно, их длина равна $a=1$ см. Сторона $AC$ является диагональю квадрата $ABCD$ со стороной $a=1$ см. Длину диагонали квадрата найдем по теореме Пифагора: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.

Теперь проверим, является ли треугольник $SAC$ прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора. Сравним сумму квадратов двух меньших сторон с квадратом большей стороны: $SA^2 + SC^2 = 1^2 + 1^2 = 2$. $AC^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.

Так как $SA^2 + SC^2 = AC^2$, то треугольник $SAC$ является прямоугольным, а его прямой угол - $\angle ASC = 90^\circ$.

Центр сферы, описанной около пирамиды, должен быть равноудален от всех ее вершин. В частности, он должен быть равноудален от вершин $S$, $A$ и $C$. Это означает, что центр описанной сферы совпадает с центром окружности, описанной около треугольника $SAC$.

Как известно, центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине его гипотенузы. В нашем случае гипотенузой является диагональ $AC$.

Следовательно, радиус $R$ описанной сферы равен половине длины гипотенузы $AC$: $R = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Ответ: $R = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.