Номер 20.10, страница 122 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

20.10. Найдите радиус сферы, описанной около правильной шестиугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1 см, а боковые ребра равны 2 см.

Дано:

Пирамида - правильная шестиугольная.
Сторона основания $a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.
Боковое ребро $l = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$.

Найти:

Радиус описанной сферы $R$.

Решение:

Центр сферы, описанной около правильной шестиугольной пирамиды, лежит на ее высоте. Обозначим радиус описанной сферы как $R$.

1. В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник. Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника ($r_b$), равен его стороне $a$.
$r_b = a = 1 \text{ см}$.

2. Найдем высоту пирамиды $H$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром $l$ (гипотенуза) и радиусом описанной около основания окружности $r_b$ (катет).
По теореме Пифагора:
$H^2 + r_b^2 = l^2$
$H^2 = l^2 - r_b^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$
$H = \sqrt{3} \text{ см}$.

3. Радиус $R$ описанной сферы для правильной пирамиды можно найти по формуле:
$R = \frac{l^2}{2H}$
Подставим известные значения $l$ и $H$:
$R = \frac{2^2}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$R = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ см}$.

Альтернативный способ (через сечение):
Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через две противоположные вершины основания. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник. Окружность, описанная около этого треугольника, является большим кругом описанной сферы, и ее радиус равен $R$.
Основание этого треугольника равно $2r_b = 2 \cdot 1 = 2 \text{ см}$. Боковые стороны равны боковым ребрам пирамиды $l = 2 \text{ см}$.
Таким образом, сечение является равносторонним треугольником со стороной 2 см.
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $b$, вычисляется по формуле $R = \frac{b}{\sqrt{3}}$.
В нашем случае $b = 2$ см.
$R = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ см}$.
Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.