Номер 20.12, страница 122 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

20.12. Боковое ребро правильной пирамиды равно 1 см и образует угол с плоскостью основания этой пирамиды:

а) $30^{\circ}$;

б) $45^{\circ}$;

в) $60^{\circ}$.

Найдите радиус сферы, описанной около этой пирамиды.

Дано:

Боковое ребро правильной пирамиды $l = 1$ см.

Угол, который боковое ребро образует с плоскостью основания:

а) $\alpha = 30^\circ$

б) $\alpha = 45^\circ$

в) $\alpha = 60^\circ$

$l = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Радиус описанной сферы $R$ для каждого случая.

Решение:

Центр сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на ее высоте. Радиус $R$ такой сферы можно найти по формуле, связывающей его с длиной бокового ребра $l$ и высотой пирамиды $H$. Формула имеет вид: $R = \frac{l^2}{2H}$.

Высота пирамиды $H$ связана с боковым ребром $l$ и углом $\alpha$ его наклона к плоскости основания соотношением $H = l \sin \alpha$. Это следует из рассмотрения прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром (гипотенуза), высотой пирамиды и проекцией бокового ребра на основание (катеты).

Подставим выражение для высоты в формулу для радиуса:

$R = \frac{l^2}{2(l \sin \alpha)} = \frac{l}{2 \sin \alpha}$

Используем эту общую формулу для решения задачи для каждого из данных углов, подставляя $l = 1$ см.

а) При $\alpha = 30^\circ$:

$R = \frac{1}{2 \sin 30^\circ} = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{1}{1} = 1$ см.

Ответ: 1 см.

б) При $\alpha = 45^\circ$:

$R = \frac{1}{2 \sin 45^\circ} = \frac{1}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

в) При $\alpha = 60^\circ$:

$R = \frac{1}{2 \sin 60^\circ} = \frac{1}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$ см.