Номер 20.16, страница 123 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

20.16. Найдите радиус сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды, боковые ребра которой равны 1 см, и плоские углы при вершине равны $90^{\circ}$.

Дано:
Правильная треугольная пирамида $SABC$ ($S$ - вершина).
Боковые ребра $l = SA = SB = SC = 1 \text{ см}$.
Плоские углы при вершине $\angle ASB = \angle BSC = \angle CSA = 90^\circ$.

Перевод в СИ:
$l = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.
Все вычисления будут производиться в сантиметрах для удобства.

Найти:
Радиус описанной сферы $R$.

Решение:

1. Найдем длину стороны основания пирамиды.
Боковые грани пирамиды ($SAB$, $SBC$, $SCA$) представляют собой треугольники. Поскольку боковые ребра $SA$, $SB$, $SC$ равны между собой ($l=1 \text{ см}$), а углы между ними при вершине $S$ прямые ($\angle ASB = \angle BSC = \angle CSA = 90^\circ$), то эти боковые грани являются равнобедренными прямоугольными треугольниками. Рассмотрим одну из граней, например, треугольник $SAB$. Стороны $SA$ и $SB$ являются катетами, а сторона основания $AB$ — гипотенузой. По теореме Пифагора:
$a^2 = AB^2 = SA^2 + SB^2 = l^2 + l^2 = 2l^2$
Подставим значение $l=1$ см:
$a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2$
$a = \sqrt{2} \text{ см}$.
Так как пирамида правильная, ее основание $ABC$ — равносторонний треугольник со стороной $a = \sqrt{2} \text{ см}$.

2. Найдем радиус окружности, описанной около основания.
Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности $R_{осн}$ вычисляется по формуле:
$R_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}}$
Подставим значение $a = \sqrt{2}$ см:
$R_{осн} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \text{ см}$.
Пусть $H$ — центр основания (он же центр описанной окружности). Тогда расстояние от $H$ до любой вершины основания равно $R_{осн}$. Например, $HA = R_{осн}$.

3. Найдем высоту пирамиды.
Высота правильной пирамиды $H_{пир}$ — это перпендикуляр $SH$, опущенный из вершины $S$ на плоскость основания $ABC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SAH$, в котором:
$SA$ — гипотенуза (боковое ребро $l$).
$HA$ — катет (радиус описанной окружности основания $R_{осн}$).
$SH$ — катет (высота пирамиды $H_{пир}$).
По теореме Пифагора: $SA^2 = SH^2 + HA^2$.
$H_{пир}^2 = l^2 - R_{осн}^2 = 1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
$H_{пир} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ см}$.

4. Найдем радиус описанной сферы.
Центр сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на ее высоте. Радиус этой сферы $R$ можно найти по формуле, связывающей его с высотой пирамиды и длиной бокового ребра:
$R = \frac{l^2}{2H_{пир}}$
Подставим известные значения $l = 1 \text{ см}$ и $H_{пир} = \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ см}$:
$R = \frac{1^2}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{1}{\frac{2\sqrt{3}}{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$R = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}$.

Ответ: $R = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}$.