Номер 20.22, страница 123 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

20.22. Найдите радиус сферы, описанной около икосаэдра, ребро которого равно 1 см (рис. 20.5).

Рис. 20.5

Дано:

Правильный икосаэдр
Длина ребра $a = 1$ см

Перевод в систему СИ:
$a = 0.01$ м

Найти:

Радиус описанной сферы $R$.

Решение:

Радиус $R$ сферы, описанной около правильного икосаэдра, можно найти, установив связь между ним и длиной ребра икосаэдра $a$. Для этого воспользуемся методом координат.

Рассмотрим икосаэдр с центром в начале декартовой системы координат. Вершины икосаэдра можно задать с помощью золотого сечения $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Для икосаэдра с длиной ребра, равной 2, координаты его 12 вершин можно задать следующим образом: $(0, \pm 1, \pm \phi)$ и все их циклические перестановки, то есть $(\pm \phi, 0, \pm 1)$ и $(\pm 1, \pm \phi, 0)$.

Убедимся, что длина ребра в этой модели действительно равна 2. Для этого найдем расстояние $d$ между двумя соседними вершинами, например, $A(0, 1, \phi)$ и $B(1, \phi, 0)$: $d^2 = (1-0)^2 + (\phi-1)^2 + (0-\phi)^2 = 1 + (\phi-1)^2 + \phi^2$.

Используя свойство золотого сечения $\phi^2 = \phi + 1$, из которого следует, что $\phi - 1 = \frac{1}{\phi}$, а также $(\frac{1}{\phi})^2 = (\phi-1)^2 = \phi^2 - 2\phi + 1 = (\phi+1) - 2\phi + 1 = 2-\phi$. Подставим эти соотношения в выражение для $d^2$: $d^2 = 1 + (2-\phi) + (\phi+1) = 4$.

Следовательно, $d = \sqrt{4} = 2$. Таким образом, выбранные координаты соответствуют икосаэдру с ребром $a=2$.

Радиус описанной сферы $R_{a=2}$ — это расстояние от центра (начала координат) до любой из вершин. Возьмем вершину с координатами $(0, 1, \phi)$: $R_{a=2} = \sqrt{0^2 + 1^2 + \phi^2} = \sqrt{1 + \phi^2}$.

Снова используя свойство $\phi^2 = \phi + 1$, получаем: $R_{a=2} = \sqrt{1 + (\phi + 1)} = \sqrt{2 + \phi} = \sqrt{2 + \frac{1+\sqrt{5}}{2}} = \sqrt{\frac{4+1+\sqrt{5}}{2}} = \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}$.

Этот радиус соответствует икосаэдру с ребром $a=2$. Для икосаэдра с произвольной длиной ребра $a$ радиус описанной сферы будет пропорционален длине ребра. Следовательно, радиус $R$ для икосаэдра с ребром $a$ можно найти из пропорции: $\frac{R}{a} = \frac{R_{a=2}}{2}$. $R = \frac{a}{2} R_{a=2} = \frac{a}{2} \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}} = a \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}$.

Для удобства можно преобразовать это выражение к стандартному виду: $R = a \sqrt{\frac{2(5+\sqrt{5})}{16}} = \frac{a}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}$. Это и есть общая формула для радиуса сферы, описанной около икосаэдра с ребром $a$.

Теперь подставим в эту формулу заданное значение длины ребра $a = 1$ см: $R = \frac{1}{4}\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}$ см.

Ответ: $R = \frac{1}{4}\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}$ см.