Задания, страница 126 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Рис. 21.5

Рис. 21.6

Докажите, что если в призму можно вписать сферу, то в нее можно вписать цилиндр (рис. 21.6). Причем, сфера, вписанная в призму, будет также вписана в цилиндр, вписанный в призму.

Решение

Пусть в данную призму вписана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Это означает, что сфера касается всех граней призмы (обоих оснований и всех боковых граней).

1. Доказательство того, что если в призму можно вписать сферу, то в нее можно вписать цилиндр.

Из того, что сфера касается двух оснований призмы, следует, что расстояние между плоскостями оснований, то есть высота призмы $h$, равно диаметру сферы: $h = 2R$. Центр сферы $O$ при этом должен быть равноудален от оснований, то есть лежать в плоскости, параллельной им и проходящей через середину высоты призмы.

Из того, что сфера касается боковых граней призмы, следует, что расстояние от центра сферы $O$ до каждой боковой грани равно радиусу сферы $R$. Рассмотрим сечение призмы и сферы плоскостью, проходящей через центр $O$ параллельно основаниям. В сечении получится многоугольник (основание призмы) и большой круг сферы радиусом $R$. Так как сфера касается боковых граней, то этот большой круг касается всех сторон многоугольника. Это означает, что в основание призмы можно вписать окружность, и ее радиус $r_{осн}$ равен радиусу сферы $R$.

Кроме того, радиусы сферы, проведенные в точки касания с боковыми гранями, лежат в плоскости сечения и перпендикулярны этим граням. Поскольку плоскость сечения параллельна основаниям, боковые грани должны быть перпендикулярны основаниям. Это означает, что призма является прямой.

Таким образом, если в призму можно вписать сферу, то призма является прямой и в ее основание можно вписать окружность. Эти два условия являются необходимыми и достаточными для того, чтобы в призму можно было вписать цилиндр. Такой цилиндр будет иметь в качестве оснований окружности, вписанные в основания призмы, а его высота будет равна высоте призмы. Следовательно, в призму можно вписать цилиндр.

2. Доказательство того, что сфера, вписанная в призму, будет также вписана в цилиндр, вписанный в призму.

Пусть $S$ — сфера, вписанная в призму, а $C$ — цилиндр, вписанный в ту же призму.

Как мы установили выше, сфера $S$ имеет радиус $R$. Призма имеет высоту $h = 2R$, а в ее основание вписана окружность радиусом $r_{осн} = R$.

Цилиндр $C$, вписанный в эту призму, имеет следующие параметры:

• Радиус основания цилиндра $r_ц$ равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы: $r_ц = r_{осн} = R$.
• Высота цилиндра $h_ц$ равна высоте призмы: $h_ц = h = 2R$.

Ось цилиндра $C$ проходит через центры его оснований. Центр сферы $O$ также лежит на этой оси, так как он равноудален от оснований и от боковых граней призмы.

Проверим, вписана ли сфера $S$ в цилиндр $C$. Сфера считается вписанной в цилиндр, если она касается его оснований и боковой поверхности.

• Касание оснований: Центр сферы $O$ находится на оси цилиндра на расстоянии $h_ц / 2 = 2R / 2 = R$ от каждого основания цилиндра. Это расстояние равно радиусу сферы, следовательно, сфера касается обоих оснований цилиндра.
• Касание боковой поверхности: Боковая поверхность цилиндра образована точками, находящимися на расстоянии $r_ц = R$ от его оси. Так как центр сферы $O$ лежит на оси цилиндра, а ее радиус также равен $R$, сфера касается боковой поверхности цилиндра по экваториальной окружности (большому кругу, лежащему в плоскости, параллельной основаниям и проходящей через центр сферы).

Поскольку сфера $S$ касается обоих оснований и боковой поверхности цилиндра $C$, она вписана в этот цилиндр.

Ответ: Утверждение доказано. Если в призму вписана сфера радиуса $R$, то эта призма является прямой, ее высота равна $2R$, а в основание вписана окружность радиуса $R$. Этих условий достаточно для построения вписанного в призму цилиндра, который будет иметь радиус основания $R$ и высоту $2R$. Сфера, вписанная в призму, будет иметь общий центр с этим цилиндром (на середине оси), и ее радиус $R$ позволит ей касаться оснований цилиндра (расстояние от центра до оснований $R$) и его боковой поверхности (радиус цилиндра $R$), что по определению означает, что сфера вписана в цилиндр.