gdz.top
Номер 21.4, страница 126 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков
Авторы: Смирнов В. А., Туяков Е. А.
Тип: Учебник
Издательство: Мектеп
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
Популярные ГДЗ в 11 классе
Глава IV*. Вписанные и описанные многогранники. Параграф 21. Многогранники, описанные около сферы. Призма - номер 21.4, страница 126.
№21.3
№21.4 (с. 126)
Условие. №21.4 (с. 126)
21.4. В правильную треугольную призму со стороной основания 1 см вписана сфера. Найдите высоту призмы.
Решение 2 (rus). №21.4 (с. 126)
Дано:
Правильная треугольная призма.
Сторона основания $a = 1$ см.
В призму вписана сфера.
$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.
Найти:
Высоту призмы $H$.
Решение:
Поскольку призма является правильной, ее основания — это равносторонние треугольники, а боковые грани — прямоугольники, перпендикулярные основаниям.
Если в призму вписана сфера, это означает, что сфера касается всех граней призмы: верхнего и нижнего оснований, а также трех боковых граней.
Из условия касания сферы верхнего и нижнего оснований следует, что расстояние между ними, то есть высота призмы $H$, равно диаметру сферы. Если радиус сферы равен $R$, то:
$H = 2R$
Рассмотрим ортогональную проекцию призмы и сферы на плоскость основания. Проекцией будет равносторонний треугольник (основание призмы), в который вписан большой круг сферы. Радиус этого круга равен радиусу сферы $R$. Таким образом, задача сводится к нахождению радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$.
Радиус $r$ окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле:
$r = \frac{a \sqrt{3}}{6}$
Следовательно, радиус вписанной сферы $R$ равен этому значению. Подставим известную сторону основания $a = 1$ см:
$R = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ см.
Зная радиус сферы, можем найти высоту призмы $H$:
$H = 2R = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.
Ответ: высота призмы равна $\frac{\sqrt{3}}{3}$ см.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 11 класс, для упражнения номер 21.4 расположенного на странице 126 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №21.4 (с. 126), авторов: Смирнов (Владимир Алексеевич), Туяков (Есенкельды Алыбаевич), учебного пособия издательства Мектеп.