Страница 126 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Рис. 21.5

Рис. 21.6

Докажите, что если в призму можно вписать сферу, то в нее можно вписать цилиндр (рис. 21.6). Причем, сфера, вписанная в призму, будет также вписана в цилиндр, вписанный в призму.

Решение

Пусть в данную призму вписана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Это означает, что сфера касается всех граней призмы (обоих оснований и всех боковых граней).

1. Доказательство того, что если в призму можно вписать сферу, то в нее можно вписать цилиндр.

Из того, что сфера касается двух оснований призмы, следует, что расстояние между плоскостями оснований, то есть высота призмы $h$, равно диаметру сферы: $h = 2R$. Центр сферы $O$ при этом должен быть равноудален от оснований, то есть лежать в плоскости, параллельной им и проходящей через середину высоты призмы.

Из того, что сфера касается боковых граней призмы, следует, что расстояние от центра сферы $O$ до каждой боковой грани равно радиусу сферы $R$. Рассмотрим сечение призмы и сферы плоскостью, проходящей через центр $O$ параллельно основаниям. В сечении получится многоугольник (основание призмы) и большой круг сферы радиусом $R$. Так как сфера касается боковых граней, то этот большой круг касается всех сторон многоугольника. Это означает, что в основание призмы можно вписать окружность, и ее радиус $r_{осн}$ равен радиусу сферы $R$.

Кроме того, радиусы сферы, проведенные в точки касания с боковыми гранями, лежат в плоскости сечения и перпендикулярны этим граням. Поскольку плоскость сечения параллельна основаниям, боковые грани должны быть перпендикулярны основаниям. Это означает, что призма является прямой.

Таким образом, если в призму можно вписать сферу, то призма является прямой и в ее основание можно вписать окружность. Эти два условия являются необходимыми и достаточными для того, чтобы в призму можно было вписать цилиндр. Такой цилиндр будет иметь в качестве оснований окружности, вписанные в основания призмы, а его высота будет равна высоте призмы. Следовательно, в призму можно вписать цилиндр.

2. Доказательство того, что сфера, вписанная в призму, будет также вписана в цилиндр, вписанный в призму.

Пусть $S$ — сфера, вписанная в призму, а $C$ — цилиндр, вписанный в ту же призму.

Как мы установили выше, сфера $S$ имеет радиус $R$. Призма имеет высоту $h = 2R$, а в ее основание вписана окружность радиусом $r_{осн} = R$.

Цилиндр $C$, вписанный в эту призму, имеет следующие параметры:

• Радиус основания цилиндра $r_ц$ равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы: $r_ц = r_{осн} = R$.
• Высота цилиндра $h_ц$ равна высоте призмы: $h_ц = h = 2R$.

Ось цилиндра $C$ проходит через центры его оснований. Центр сферы $O$ также лежит на этой оси, так как он равноудален от оснований и от боковых граней призмы.

Проверим, вписана ли сфера $S$ в цилиндр $C$. Сфера считается вписанной в цилиндр, если она касается его оснований и боковой поверхности.

• Касание оснований: Центр сферы $O$ находится на оси цилиндра на расстоянии $h_ц / 2 = 2R / 2 = R$ от каждого основания цилиндра. Это расстояние равно радиусу сферы, следовательно, сфера касается обоих оснований цилиндра.
• Касание боковой поверхности: Боковая поверхность цилиндра образована точками, находящимися на расстоянии $r_ц = R$ от его оси. Так как центр сферы $O$ лежит на оси цилиндра, а ее радиус также равен $R$, сфера касается боковой поверхности цилиндра по экваториальной окружности (большому кругу, лежащему в плоскости, параллельной основаниям и проходящей через центр сферы).

Поскольку сфера $S$ касается обоих оснований и боковой поверхности цилиндра $C$, она вписана в этот цилиндр.

Ответ: Утверждение доказано. Если в призму вписана сфера радиуса $R$, то эта призма является прямой, ее высота равна $2R$, а в основание вписана окружность радиуса $R$. Этих условий достаточно для построения вписанного в призму цилиндра, который будет иметь радиус основания $R$ и высоту $2R$. Сфера, вписанная в призму, будет иметь общий центр с этим цилиндром (на середине оси), и ее радиус $R$ позволит ей касаться оснований цилиндра (расстояние от центра до оснований $R$) и его боковой поверхности (радиус цилиндра $R$), что по определению означает, что сфера вписана в цилиндр.

Вопросы

1. Какой многогранник называется описанным около сферы?

2. Какая сфера называется вписанной в многогранник?

3. В какую прямую призму можно вписать сферу?

4. В какой прямоугольный параллелепипед можно вписать сферу?

5. Где находится центр сферы, вписанной в куб?

6. Чему равен радиус сферы, вписанной в куб, ребро которого равно $a$?

Какой многогранник называется описанным около сферы?

Многогранник называется описанным около сферы, если все его грани касаются этой сферы. Иными словами, сфера находится внутри многогранника, и каждая грань многогранника является плоскостью, касательной к сфере в некоторой точке.

Ответ: Многогранник называется описанным около сферы, если все его грани касаются сферы.

2. Какая сфера называется вписанной в многогранник?

Сфера называется вписанной в многогранник, если она касается всех граней этого многогранника. Это то же самое определение, что и в предыдущем вопросе, но с точки зрения сферы, а не многогранника. Многогранник, в который вписана сфера, называется описанным около этой сферы.

Ответ: Сфера называется вписанной в многогранник, если она касается всех его граней.

3. В какую прямую призму можно вписать сферу?

Чтобы в прямую призму можно было вписать сферу, должны выполняться два условия. Во-первых, в основание призмы (которое является многоугольником) должна вписываться окружность. Во-вторых, высота призмы должна быть равна диаметру этой вписанной окружности. Центр вписанной сферы будет расположен на середине высоты призмы, соединяющей центры окружностей, вписанных в верхнее и нижнее основания.

Ответ: Сферу можно вписать в прямую призму, в основание которой можно вписать окружность, и высота которой равна диаметру этой окружности.

4. В какой прямоугольный параллелепипед можно вписать сферу?

Прямоугольный параллелепипед — это прямая призма с прямоугольником в основании. Чтобы в него можно было вписать сферу, в его основание (прямоугольник) должна вписываться окружность. Это возможно только в том случае, если прямоугольник является квадратом. Кроме того, согласно условию для прямой призмы, высота параллелепипеда должна быть равна диаметру вписанной в основание окружности. Для квадрата со стороной $a$ диаметр вписанной окружности равен $a$. Следовательно, высота параллелепипеда также должна быть равна $a$. Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, является кубом.

Ответ: Сферу можно вписать в прямоугольный параллелепипед, который является кубом.

5. Где находится центр сферы, вписанной в куб?

Центр сферы, вписанной в многогранник, должен быть равноудален от всех его граней. В кубе такой точкой является его геометрический центр, который также является его центром симметрии. Эта точка является точкой пересечения всех пространственных диагоналей куба.

Ответ: Центр сферы, вписанной в куб, находится в центре куба, то есть в точке пересечения его диагоналей.

6. Чему равен радиус сферы, вписанной в куб, ребро которого равно а?

Дано

Куб, ребро которого равно $a$.

В куб вписана сфера.

Найти

Радиус вписанной сферы $R$.

Решение

Сфера, вписанная в куб, касается всех шести его граней. Расстояние между двумя противоположными гранями куба равно длине его ребра, то есть $a$. Это расстояние в точности равно диаметру $D$ вписанной сферы, так как сфера касается этих граней в их центрах.

Следовательно, диаметр сферы $D = a$.

Радиус сферы $R$ равен половине ее диаметра:

$R = \frac{D}{2}$

Подставив значение диаметра, получаем искомый радиус:

$R = \frac{a}{2}$

Ответ: $R = \frac{a}{2}$

21.1. Ребро куба равно 1 см. Найдите радиус вписанной в него сферы.

Дано:

Ребро куба $a = 1$ см.

Перевод в систему СИ:
$a = 0.01$ м.

Найти:

Радиус вписанной сферы $r$.

Решение:

Сфера, вписанная в куб, — это сфера, которая касается всех шести граней куба изнутри. Центр такой сферы совпадает с центром куба, а её диаметр $d$ равен расстоянию между двумя противоположными гранями куба.

Расстояние между противоположными гранями куба равно длине его ребра $a$. Таким образом, диаметр вписанной сферы равен ребру куба:

$d = a$

Радиус сферы $r$ равен половине её диаметра:

$r = \frac{d}{2}$

Подставляя $d = a$, получаем формулу для радиуса вписанной в куб сферы:

$r = \frac{a}{2}$

Теперь подставим числовое значение ребра куба $a = 1$ см:

$r = \frac{1 \text{ см}}{2} = 0.5 \text{ см}$

Ответ: $0.5$ см.

21.2. Радиус сферы равен 1 см. Найдите ребро описанного около нее куба.

Дано:

Радиус сферы $R = 1$ см

$R = 0.01$ м

Найти:

Ребро куба $a$

Решение:

Если куб описан около сферы, это означает, что сфера вписана в куб. В таком случае сфера касается центров всех шести граней куба.

Расстояние между двумя противоположными гранями куба равно длине его ребра, которую мы обозначим как $a$. Поскольку сфера касается этих граней, это расстояние также должно быть равно диаметру сферы $D$.

Следовательно, ребро куба равно диаметру вписанной в него сферы:

$a = D$

Диаметр сферы, в свою очередь, связан с ее радиусом $R$ соотношением:

$D = 2R$

Объединив эти два равенства, получаем формулу для нахождения ребра куба:

$a = 2R$

Подставим в эту формулу значение радиуса из условия задачи:

$a = 2 \cdot 1 \text{ см} = 2 \text{ см}$

Ответ: 2 см.

21.3. Найдите радиус сферы, вписанной в правильную призму, высота которой равна 1 см.

Дано:
Правильная призма.
В призму вписана сфера.
Высота призмы $H = 1$ см.

$H = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:
Радиус вписанной сферы $R$.

Решение:

Пусть $R$ — это радиус сферы, вписанной в правильную призму.

По определению, вписанная сфера касается всех граней многогранника. В нашем случае сфера касается обоих оснований призмы (верхнего и нижнего) и всех ее боковых граней.

Так как сфера касается верхнего и нижнего оснований призмы, расстояние между плоскостями оснований, то есть высота призмы $H$, должно быть равно диаметру вписанной сферы $2R$.

Таким образом, мы можем записать следующее равенство:

$H = 2R$

Из этого равенства можно выразить радиус сферы $R$:

$R = \frac{H}{2}$

Подставим в эту формулу известное значение высоты призмы $H = 1$ см:

$R = \frac{1 \text{ см}}{2} = 0.5 \text{ см}$

Условие возможности вписать сферу в правильную призму заключается в том, что в ее основание (правильный многоугольник) можно вписать окружность, диаметр которой равен высоте призмы. Радиус этой вписанной в основание окружности как раз и будет равен радиусу вписанной сферы. Наше вычисление основано на касании сферы с основаниями призмы, что является ключевым для нахождения радиуса.

Ответ: $0.5$ см.

21.4. В правильную треугольную призму со стороной основания 1 см вписана сфера. Найдите высоту призмы.

Дано:
Правильная треугольная призма.
Сторона основания $a = 1$ см.
В призму вписана сфера.

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:
Высоту призмы $H$.

Решение:

Поскольку призма является правильной, ее основания — это равносторонние треугольники, а боковые грани — прямоугольники, перпендикулярные основаниям.

Если в призму вписана сфера, это означает, что сфера касается всех граней призмы: верхнего и нижнего оснований, а также трех боковых граней.

Из условия касания сферы верхнего и нижнего оснований следует, что расстояние между ними, то есть высота призмы $H$, равно диаметру сферы. Если радиус сферы равен $R$, то:

$H = 2R$

Рассмотрим ортогональную проекцию призмы и сферы на плоскость основания. Проекцией будет равносторонний треугольник (основание призмы), в который вписан большой круг сферы. Радиус этого круга равен радиусу сферы $R$. Таким образом, задача сводится к нахождению радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$.

Радиус $r$ окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле:

$r = \frac{a \sqrt{3}}{6}$

Следовательно, радиус вписанной сферы $R$ равен этому значению. Подставим известную сторону основания $a = 1$ см:

$R = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ см.

Зная радиус сферы, можем найти высоту призмы $H$:

$H = 2R = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: высота призмы равна $\frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

21.5. Верно ли, что если в призму можно вписать цилиндр, то в нее можно вписать сферу?

Нет, это утверждение неверно. Для того чтобы в призму можно было вписать сферу, должны выполняться более строгие условия, чем для вписанного цилиндра. Давайте разберемся почему.

Условие для вписывания цилиндра в призму:

Чтобы в призму можно было вписать цилиндр, необходимо и достаточно, чтобы в основание призмы можно было вписать окружность (если призма прямая) или чтобы сечение призмы, перпендикулярное боковым ребрам, было многоугольником, в который можно вписать окружность (если призма наклонная).

Если в основание призмы можно вписать окружность радиуса $r$, а высота призмы равна $H$, то в эту призму можно вписать цилиндр с радиусом основания $r$ и высотой $H$. При этом никакой связи между высотой призмы $H$ и радиусом вписанной в основание окружности $r$ не требуется.

Условие для вписывания сферы в призму:

Чтобы в призму можно было вписать сферу, необходимо, чтобы она была прямой и чтобы выполнялись два условия:

1. В основание призмы можно вписать окружность. Пусть ее радиус равен $r$.

2. Высота призмы $H$ должна быть равна диаметру этой вписанной окружности, то есть $H = 2r$.

Это связано с тем, что центр вписанной сферы должен быть равноудален от всех граней призмы (обоих оснований и всех боковых граней). Расстояние от центра до боковых граней равно радиусу вписанной в основание окружности $r$, а расстояние до каждого из оснований равно половине высоты $H/2$. Для сферы все эти расстояния должны быть равны ее радиусу, следовательно, $r = H/2$, или $H = 2r$.

Контрпример:

Рассмотрим прямую призму, в основании которой лежит квадрат со стороной $a$, а высота призмы $H = 3a$. Это прямоугольный параллелепипед.

1. В основание (квадрат) можно вписать окружность. Ее радиус $r = a/2$.

2. Следовательно, в эту призму можно вписать цилиндр с радиусом основания $r = a/2$ и высотой $H = 3a$. Условие для вписывания цилиндра выполняется.

3. Теперь проверим, можно ли вписать сферу. Для этого высота призмы должна быть равна диаметру вписанной в основание окружности: $H = 2r = 2(a/2) = a$.

4. В нашем примере $H = 3a$, а требуемая высота для вписанной сферы – $a$. Поскольку $3a \neq a$, в данную призму нельзя вписать сферу.

Таким образом, мы нашли призму, в которую можно вписать цилиндр, но нельзя вписать сферу.

Ответ: Нет, неверно.

можно вписать сферу!

21.6. Приведите пример правильной призмы, в которую нельзя вписать сферу.

Решение

Для того чтобы в правильную призму можно было вписать сферу, необходимо и достаточно, чтобы высота призмы была равна диаметру окружности, вписанной в основание призмы.

Обоснуем это условие. Пусть дана правильная призма с высотой $H$. В ее основании лежит правильный многоугольник, в который можно вписать окружность радиусом $r_{in}$.

1. Если в призму вписана сфера, она должна касаться верхнего и нижнего оснований призмы. Расстояние между основаниями равно высоте призмы $H$. Следовательно, диаметр вписанной сферы $2R$ должен быть равен высоте $H$. Отсюда радиус сферы $R = H/2$.

2. Вписанная сфера также должна касаться всех боковых граней призмы. Поскольку призма правильная, ее боковые грани равноудалены от оси призмы. Центр вписанной сферы должен лежать на этой оси. Расстояние от оси до любой боковой грани равно радиусу окружности, вписанной в основание, то есть $r_{in}$. Следовательно, радиус сферы $R$ должен быть равен $r_{in}$.

Из этих двух условий получаем необходимое и достаточное условие для возможности вписать сферу в правильную призму: $H = 2r_{in}$. Величина $2r_{in}$ как раз является диаметром окружности, вписанной в основание.

Чтобы привести пример правильной призмы, в которую нельзя вписать сферу, достаточно выбрать любую правильную призму, у которой высота $H$ не равна диаметру вписанной в основание окружности $d_{in} = 2r_{in}$.

Рассмотрим в качестве примера правильную четырехугольную призму. В ее основании лежит квадрат. Пусть сторона квадрата равна $a$. Радиус вписанной в квадрат окружности $r_{in} = a/2$, а ее диаметр $d_{in} = a$. Для такой призмы условие возможности вписать сферу принимает вид $H = a$. То есть, сфера вписывается только в том случае, если призма является кубом.

Следовательно, любая правильная четырехугольная призма, которая не является кубом, служит примером призмы, в которую нельзя вписать сферу.

Например, возьмем правильную четырехугольную призму со стороной основания $a = 5$ и высотой $H = 10$. В этом случае $d_{in} = 5$, а $H=10$. Так как $H \neq d_{in}$, вписать сферу в данную призму невозможно.

Ответ: любая правильная призма, высота которой не равна диаметру окружности, вписанной в ее основание. Например, правильная четырехугольная призма со стороной основания 5 и высотой 10.

21.7. В правильную треугольную призму, сторона основания которой равна 1 см, вписана сфера. Найдите ее радиус.

Дано:

Правильная треугольная призма

Сторона основания, $a = 1$ см

Перевод в систему СИ:
$a = 0.01$ м

Найти:

$R$ - радиус вписанной сферы.

Решение:

В правильной треугольной призме основаниями являются два равных равносторонних треугольника, а боковые грани — прямоугольники, перпендикулярные основаниям.
Сфера, вписанная в призму, касается обоих оснований и всех боковых граней.
1. Касание оснований: Так как сфера касается верхнего и нижнего оснований призмы, расстояние между основаниями (высота призмы $H$) равно диаметру сферы $2R$. Таким образом, $H = 2R$.
2. Касание боковых граней: Центр вписанной сферы будет равноудален от всех боковых граней. Если спроецировать сферу на плоскость основания, ее проекцией будет большой круг (круг с радиусом $R$), который вписан в равносторонний треугольник основания.
Следовательно, радиус вписанной сферы $R$ равен радиусу окружности, вписанной в равносторонний треугольник основания ($r_{вп}$).
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле:
$r_{вп} = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$
Подставим в формулу значение стороны основания $a = 1$ см:
$R = r_{вп} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ см.
Высота призмы при этом будет равна $H = 2R = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{6}$ см.