Страница 123 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

20.13. Приведите пример пирамиды, около которой нельзя описать сферу.

Для того чтобы около пирамиды можно было описать сферу, необходимо и достаточно, чтобы около ее основания можно было описать окружность. Это условие вытекает из определения описанной сферы: ее центр должен быть равноудален от всех вершин пирамиды. Если точка $O$ — центр сферы, то она равноудалена от всех вершин основания $A_1, A_2, \dots, A_n$. Это означает, что проекция точки $O$ на плоскость основания является центром окружности, описанной около многоугольника $A_1A_2\dots A_n$. Если такой окружности для основания не существует, то не существует и описанной сферы для всей пирамиды.

Следовательно, для примера пирамиды, около которой нельзя описать сферу, достаточно взять любую пирамиду, в основании которой лежит многоугольник, около которого нельзя описать окружность.

20.14. Может ли центр описанной около пирамиды сферы находиться:
а) внутри пирамиды;
б) на основании пирамиды;
в) вне пирамиды? Изобразите соответствующие пирамиды, вписанные в сферу.

а) внутри пирамиды

Да, центр описанной около пирамиды сферы может находиться внутри пирамиды.

Решение
Центр описанной сферы $O$ равноудален от всех вершин пирамиды. Он лежит на перпендикуляре к плоскости основания, проведенном через центр $O_{осн}$ окружности, описанной около основания. Рассмотрим для примера правильную пирамиду, у которой высота $h$ больше радиуса $r$ окружности, описанной около основания. Пусть $O$ - центр сферы, $O_{осн}$ - центр основания, $S$ - вершина пирамиды, $A$ - одна из вершин основания. Точки $S$, $O$, $O_{осн}$ лежат на высоте пирамиды. Пусть $R$ - радиус описанной сферы. Тогда $OS = OA = R$. Введем систему координат с началом в центре основания $O_{осн}$. Ось $Oz$ направим вдоль высоты. Тогда $O_{осн}(0,0,0)$, $S(0,0,h)$, $A(r,0,0)$. Центр сферы $O$ имеет координаты $(0,0,z_O)$. Из равенства $OS^2 = OA^2$ получаем: $(h - z_O)^2 = r^2 + z_O^2$
$h^2 - 2hz_O + z_O^2 = r^2 + z_O^2$
$z_O = \frac{h^2 - r^2}{2h}$
Центр сферы находится внутри пирамиды, если его аппликата $z_O$ удовлетворяет условию $0 < z_O < h$. $0 < \frac{h^2 - r^2}{2h} < h$
Так как $h>0$, это эквивалентно $0 < h^2 - r^2 < 2h^2$. Первое неравенство $h^2 - r^2 > 0$ дает $h > r$. Второе неравенство $h^2 - r^2 < 2h^2$ выполняется всегда, так как $-r^2 < h^2$. Следовательно, если высота правильной пирамиды больше радиуса описанной около основания окружности ($h>r$), то центр описанной сферы лежит внутри пирамиды. Это соответствует случаю, когда боковое ребро образует с плоскостью основания угол, больший $45^\circ$.

На рисунке показано диагональное сечение такой пирамиды (треугольник $SAA'$) и описанной около нее сферы (окружность).

Ответ: Да, может.

б) на основании пирамиды

Да, центр описанной около пирамиды сферы может находиться на основании пирамиды.

Решение
Используя те же рассуждения и формулу для аппликаты центра сферы $z_O = \frac{h^2 - r^2}{2h}$, что и в пункте а), найдем условие, при котором центр сферы лежит в плоскости основания. Это произойдет, если $z_O = 0$. $\frac{h^2 - r^2}{2h} = 0 \implies h^2 - r^2 = 0 \implies h = r$ (поскольку $h, r > 0$). Таким образом, центр описанной сферы совпадает с центром окружности, описанной около основания, если высота правильной пирамиды равна радиусу этой окружности ($h=r$). Геометрически это означает, что угол при вершине в диагональном сечении пирамиды равен $90^\circ$.

На рисунке показано диагональное сечение пирамиды для случая $h=r$. Центр сферы $O$ совпадает с центром основания $O_{осн}$.

Ответ: Да, может.

в) вне пирамиды

Да, центр описанной около пирамиды сферы может находиться вне пирамиды.

Решение
Центр сферы будет находиться вне пирамиды, если он расположен ниже плоскости основания или выше вершины пирамиды.
1. Центр ниже основания. Рассмотрим снова правильную пирамиду. Центр сферы $O$ с аппликатой $z_O = \frac{h^2 - r^2}{2h}$ будет вне пирамиды под основанием, если $z_O < 0$. $\frac{h^2 - r^2}{2h} < 0 \implies h^2 - r^2 < 0 \implies h < r$. Если высота правильной пирамиды меньше радиуса описанной около основания окружности ($h$

На рисунке показано диагональное сечение "плоской" пирамиды ($h$SAA'OO_оснh

2. Центр выше вершины. Для правильной пирамиды это невозможно. Однако, если пирамида не является правильной, такой случай возможен. Пусть основание пирамиды лежит в плоскости $z=0$, $O_{осн}$ в начале координат. Вершина $S$ имеет проекцию $H$ на плоскость основания. Расстояние $O_{осн}H = d$. Координата центра сферы $z_O = \frac{h^2 + d^2 - r^2}{2h}$. Центр сферы будет выше вершины ($z_O > h$), если: $\frac{h^2 + d^2 - r^2}{2h} > h \implies h^2 + d^2 - r^2 > 2h^2 \implies d^2 > h^2 + r^2$. Это условие выполняется, если проекция вершины пирамиды на плоскость основания находится достаточно далеко от центра описанной окружности основания.

На рисунке показана "наклонная" пирамида, у которой центр сферы $O$ расположен выше вершины $S$.

Ответ: Да, может.

20.15. Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 3 см, высота равна $\sqrt{3}$ см. Укажите расположение центра описанной около этой пирамиды сферы и найдите ее радиус.

Дано:

SABC - правильная треугольная пирамида

Сторона основания $a = 3$ см

Высота пирамиды $H = \sqrt{3}$ см

Перевод в систему СИ не требуется, так как все единицы измерения согласованы.

Найти:

1. Расположение центра описанной сферы.

2. Радиус описанной сферы $R$.

Решение:

Пусть SABC — данная правильная треугольная пирамида с вершиной S и основанием ABC. Так как пирамида правильная, ее основанием является равносторонний треугольник ABC, а высота SO проецируется в центр этого треугольника — точку O, которая является центром описанной и вписанной окружностей для основания.

Центр сферы, описанной около правильной пирамиды, всегда лежит на ее высоте. Обозначим центр сферы $O_{сф}$, а ее радиус — $R$.

Все вершины пирамиды равноудалены от центра описанной сферы, то есть расстояние от $O_{сф}$ до каждой из вершин A, B, C и S равно радиусу $R$.

Найдем радиус окружности, описанной около основания ABC. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности $r_{осн}$ вычисляется по формуле:

$r_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим значение $a = 3$ см:

$r_{осн} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.

Этот радиус равен расстоянию от центра основания O до его вершин: $OA = OB = OC = r_{осн} = \sqrt{3}$ см.

Рассмотрим сечение пирамиды, проходящее через вершину S, высоту SO и вершину основания A. Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник $\triangle SOA$, где $SO = H = \sqrt{3}$ см — высота пирамиды, а $OA = r_{осн} = \sqrt{3}$ см — катет, равный радиусу описанной окружности основания.

Мы видим, что катеты треугольника $\triangle SOA$ равны: $SO = OA = \sqrt{3}$ см. Следовательно, этот треугольник является равнобедренным прямоугольным треугольником.

Центр описанной сферы $O_{сф}$ лежит на высоте SO и должен быть равноудален от вершин S и A, то есть $O_{сф}S = O_{сф}A = R$. Точка, равноудаленная от концов отрезка SA, лежит на его серединном перпендикуляре. Таким образом, $O_{сф}$ является точкой пересечения высоты SO и серединного перпендикуляра к боковому ребру SA.

В равнобедренном треугольнике $\triangle SOA$ ($SO=OA$), серединный перпендикуляр к гипотенузе SA проходит через вершину прямого угла O. Следовательно, точка пересечения высоты SO и серединного перпендикуляра к SA — это сама точка O.

Таким образом, центр описанной сферы $O_{сф}$ совпадает с центром основания пирамиды O.

Теперь найдем радиус сферы $R$. Так как центр сферы находится в точке O, радиус равен расстоянию от точки O до любой вершины пирамиды.

Расстояние от O до вершины S:

$R = OS = H = \sqrt{3}$ см.

Расстояние от O до вершины A:

$R = OA = r_{осн} = \sqrt{3}$ см.

Оба расстояния равны, что подтверждает правильность определения положения центра сферы.

Ответ:

Центр описанной сферы совпадает с центром основания пирамиды. Радиус сферы равен $\sqrt{3}$ см.

20.16. Найдите радиус сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды, боковые ребра которой равны 1 см, и плоские углы при вершине равны $90^{\circ}$.

Дано:
Правильная треугольная пирамида $SABC$ ($S$ - вершина).
Боковые ребра $l = SA = SB = SC = 1 \text{ см}$.
Плоские углы при вершине $\angle ASB = \angle BSC = \angle CSA = 90^\circ$.

Перевод в СИ:
$l = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.
Все вычисления будут производиться в сантиметрах для удобства.

Найти:
Радиус описанной сферы $R$.

Решение:

1. Найдем длину стороны основания пирамиды.
Боковые грани пирамиды ($SAB$, $SBC$, $SCA$) представляют собой треугольники. Поскольку боковые ребра $SA$, $SB$, $SC$ равны между собой ($l=1 \text{ см}$), а углы между ними при вершине $S$ прямые ($\angle ASB = \angle BSC = \angle CSA = 90^\circ$), то эти боковые грани являются равнобедренными прямоугольными треугольниками. Рассмотрим одну из граней, например, треугольник $SAB$. Стороны $SA$ и $SB$ являются катетами, а сторона основания $AB$ — гипотенузой. По теореме Пифагора:
$a^2 = AB^2 = SA^2 + SB^2 = l^2 + l^2 = 2l^2$
Подставим значение $l=1$ см:
$a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2$
$a = \sqrt{2} \text{ см}$.
Так как пирамида правильная, ее основание $ABC$ — равносторонний треугольник со стороной $a = \sqrt{2} \text{ см}$.

2. Найдем радиус окружности, описанной около основания.
Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности $R_{осн}$ вычисляется по формуле:
$R_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}}$
Подставим значение $a = \sqrt{2}$ см:
$R_{осн} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \text{ см}$.
Пусть $H$ — центр основания (он же центр описанной окружности). Тогда расстояние от $H$ до любой вершины основания равно $R_{осн}$. Например, $HA = R_{осн}$.

3. Найдем высоту пирамиды.
Высота правильной пирамиды $H_{пир}$ — это перпендикуляр $SH$, опущенный из вершины $S$ на плоскость основания $ABC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SAH$, в котором:
$SA$ — гипотенуза (боковое ребро $l$).
$HA$ — катет (радиус описанной окружности основания $R_{осн}$).
$SH$ — катет (высота пирамиды $H_{пир}$).
По теореме Пифагора: $SA^2 = SH^2 + HA^2$.
$H_{пир}^2 = l^2 - R_{осн}^2 = 1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
$H_{пир} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ см}$.

4. Найдем радиус описанной сферы.
Центр сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на ее высоте. Радиус этой сферы $R$ можно найти по формуле, связывающей его с высотой пирамиды и длиной бокового ребра:
$R = \frac{l^2}{2H_{пир}}$
Подставим известные значения $l = 1 \text{ см}$ и $H_{пир} = \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ см}$:
$R = \frac{1^2}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{1}{\frac{2\sqrt{3}}{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$R = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}$.

Ответ: $R = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}$.

20.17. Ребра правильной четырехугольной пирамиды равны 1 см. Укажите расположение центра описанной около этой пирамиды сферы.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида.

Все ребра равны $l = 1$ см.

Найти:

Расположение центра описанной сферы.

Решение:

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадрат в основании, а $S$ — ее вершина. По условию задачи, все ребра пирамиды равны 1 см. Это значит, что стороны основания ($AB, BC, CD, DA$) и боковые ребра ($SA, SB, SC, SD$) имеют длину 1 см.

Центр сферы, описанной около многогранника, является точкой, равноудаленной от всех его вершин. В силу симметрии правильной пирамиды, центр описанной сферы должен лежать на ее высоте $SO$, где $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата $ABCD$).

Рассмотрим диагональное сечение пирамиды, проходящее через вершину $S$ и диагональ основания, например, $AC$. Это сечение представляет собой треугольник $SAC$. Все три вершины этого треугольника ($S, A, C$) лежат на описанной сфере. Это означает, что окружность, описанная около треугольника $SAC$, является большой окружностью сферы, а ее центр — центром описанной сферы.

Найдем длины сторон треугольника $SAC$:

1. Боковые ребра $SA$ и $SC$ по условию равны 1 см: $SA = SC = 1$ см.

2. $AC$ является диагональю квадрата $ABCD$ со стороной 1 см. Найдем ее длину по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 1^2 + 1^2 = 2$

Отсюда, $AC = \sqrt{2}$ см.

Теперь проверим тип треугольника $SAC$ с помощью обратной теоремы Пифагора. Сравним квадрат большей стороны $AC$ с суммой квадратов двух других сторон $SA$ и $SC$

20.18. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды и ее высота равны 1 см. Укажите расположение центра описанной около этой пирамиды сферы.

Дано:

Пирамида правильная, шестиугольная.

Сторона основания, $a = 1 \text{ см}$

Высота пирамиды, $h = 1 \text{ см}$

Найти:

Расположение центра описанной сферы.

Решение:

Центр сферы, описанной около любой правильной пирамиды, всегда лежит на ее оси симметрии, которой является высота пирамиды. Обозначим вершину пирамиды как $S$, а центр ее основания (правильного шестиугольника) как $O$. Таким образом, высота пирамиды — это отрезок $SO$, и на нем лежит искомый центр описанной сферы, который мы обозначим как $C$.

По определению, центр описанной сферы равноудален от всех вершин многогранника. Пусть $R$ — радиус этой сферы. Тогда расстояние от центра $C$ до любой вершины основания пирамиды (например, $A$) и до вершины пирамиды $S$ одинаково и равно $R$. То есть, $CA = CS = R$.

В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник. Расстояние от центра правильного шестиугольника до любой его вершины равно длине его стороны. Следовательно, расстояние $OA = a$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $COA$, где $C$ лежит на высоте $SO$. Катетами этого треугольника являются $OA$ и $CO$, а гипотенузой — $CA$. По теореме Пифагора: $CA^2 = CO^2 + OA^2$

Пусть расстояние от центра основания $O$ до центра сферы $C$ равно $x$, то есть $CO = x$. Тогда, подставляя известные величины, получаем: $R^2 = x^2 + a^2$

Расстояние от центра сферы $C$ до вершины $S$ можно выразить как разность высоты пирамиды $h$ и отрезка $CO$: $CS = SO - CO = h - x$ Следовательно, $R^2 = (h - x)^2$.

Теперь мы можем приравнять два полученных выражения для квадрата радиуса $R^2$: $x^2 + a^2 = (h - x)^2$

Подставим в это уравнение данные из условия задачи: $a = 1 \text{ см}$ и $h = 1 \text{ см}$. $x^2 + 1^2 = (1 - x)^2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$: $x^2 + 1 = 1 - 2x + x^2$

Сократим $x^2$ и $1$ в обеих частях уравнения: $0 = -2x$ $x = 0$

Величина $x$ представляет собой расстояние от центра основания $O$ до центра сферы $C$. Так как $x = 0$, это означает, что точка $C$ совпадает с точкой $O$.

Ответ: Центр описанной около данной пирамиды сферы расположен в центре ее основания.

20.19. Основанием пирамиды $SABCD$ является прямоугольник со сторонами равными 1 см и 2 см. Ребро $SD$ равно 2 см и является высотой этой пирамиды. Найдите радиус описанной сферы.

Дано:

Пирамида $SABCD$
Основание $ABCD$ — прямоугольник
Стороны основания: $a = 1$ см, $b = 2$ см
Высота $h = SD = 2$ см

$a = 0.01$ м
$b = 0.02$ м
$h = 0.02$ м

Найти:

Радиус описанной сферы $R$.

Решение:

Для нахождения радиуса описанной сферы воспользуемся методом, основанным на свойствах прямоугольного параллелепипеда.

По условию, основанием пирамиды является прямоугольник $ABCD$, значит, угол $\angle ADC = 90^\circ$. Также по условию, ребро $SD$ является высотой пирамиды, что означает, что оно перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Из этого следует, что ребро $SD$ перпендикулярно каждой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $D$. В частности, $SD \perp AD$ и $SD \perp DC$.

Таким образом, три ребра пирамиды, выходящие из вершины $D$ — $DA$, $DC$ и $DS$ — попарно перпендикулярны. Эти три ребра можно рассматривать как измерения прямоугольного параллелепипеда, у которого вершина $D$ является одной из вершин, а ребра $DA$, $DC$ и $DS$ лежат на его осях.

Все вершины пирамиды $S, A, B, C, D$ являются вершинами этого воображаемого прямоугольного параллелепипеда. Следовательно, сфера, описанная около пирамиды $SABCD$, будет той же самой сферой, что описана около этого прямоугольного параллелепипеда.

Известно, что радиус $R$ сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, равен половине длины его главной диагонали $d$. Длина главной диагонали вычисляется по формуле:

$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

где $a, b, c$ — длины ребер параллелепипеда, выходящих из одной вершины. В нашем случае это длины ребер $DC$, $DA$ и $SD$.

Пусть $DC = 1$ см, $DA = 2$ см и $SD = 2$ см. Подставим эти значения в формулу для диагонали:

$d = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ см.

Теперь найдем радиус описанной сферы, который равен половине диагонали:

$R = \frac{d}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$ см.

Ответ: 1.5 см.

20.20. Основанием пирамиды $SABCDEF$ является правильный шестиугольник со стороной равной 2 см. Ребро $SA$ равно 3 см и является высотой этой пирамиды. Найдите радиус описанной сферы.

Дано:

Пирамида $SABCDEF$
Основание $ABCDEF$ – правильный шестиугольник
Сторона основания, $a = 2$ см
Высота пирамиды, $H = SA = 3$ см
Ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания

Перевод в систему СИ:
$a = 0.02$ м
$H = 0.03$ м

Найти:

Радиус описанной сферы, $R$.

Решение:

Центр описанной около пирамиды сферы равноудален от всех ее вершин. Обозначим центр сферы как $O$, а ее радиус как $R$. Все вершины пирамиды $S, A, B, C, D, E, F$ лежат на поверхности сферы.

Рассмотрим плоскость, проходящую через вершину пирамиды $S$, вершину основания $A$ и диаметрально противоположную ей вершину основания $D$. Эта плоскость $SAD$ является плоскостью симметрии для данной пирамиды. Это следует из того, что прямая $AD$ является осью симметрии для правильного шестиугольника $ABCDEF$, а высота $SA$ лежит в этой плоскости (так как $S$, $A$, $D$ определяют плоскость).

Поскольку плоскость $SAD$ является плоскостью симметрии пирамиды, центр описанной сферы $O$ должен лежать в этой плоскости. Раз центр $O$ лежит в плоскости $SAD$ и равноудален от точек $S, A, D$, то он является центром окружности, описанной около треугольника $SAD$. Следовательно, радиус описанной сферы $R$ равен радиусу окружности, описанной около треугольника $SAD$.

Найдем стороны треугольника $SAD$:

1. Сторона $SA$ является высотой пирамиды, по условию $SA = 3$ см.

2. Сторона $AD$ является большой диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$. Длина большой диагонали правильного шестиугольника равна удвоенной длине его стороны: $AD = 2a$.

$AD = 2 \cdot 2 = 4$ см.

3. Так как ребро $SA$ является высотой пирамиды, оно перпендикулярно плоскости основания, а значит, перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. Следовательно, $SA \perp AD$.

Таким образом, треугольник $SAD$ является прямоугольным с катетами $SA = 3$ см и $AD = 4$ см.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине длины его гипотенузы. Найдем гипотенузу $SD$ по теореме Пифагора:

$SD^2 = SA^2 + AD^2$

$SD^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$SD = \sqrt{25} = 5$ см.

Теперь найдем радиус описанной сферы $R$, который равен радиусу описанной окружности треугольника $SAD$:

$R = \frac{SD}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ см.

Ответ: $2.5$ см.

20.21. Найдите радиус сферы, описанной около октаэдра, ребро которого равно 1 см (рис. 20.4).

Рис. 20.4

Дано:

Правильный октаэдр

Длина ребра $a = 1$ см

$a = 0.01$ м

Найти:

Радиус описанной сферы $R$

Решение:

Правильный октаэдр — это многогранник, состоящий из восьми граней, которые являются равносторонними треугольниками. Все 12 ребер октаэдра имеют одинаковую длину. Все 6 вершин октаэдра равноудалены от его центра.

Сфера, описанная около октаэдра, проходит через все его вершины. Центр этой сферы совпадает с центром симметрии октаэдра, а ее радиус $R$ равен расстоянию от центра до любой из вершин.

Рассмотрим сечение октаэдра плоскостью, проходящей через четыре его вершины и центр. Такое сечение является квадратом. Стороны этого квадрата — это ребра октаэдра, а его вершины — это вершины октаэдра.

Радиус $R$ описанной сферы равен половине диагонали $d$ этого квадрата. Найдем диагональ квадрата со стороной $a$ по теореме Пифагора:
$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$
$d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Теперь найдем радиус $R$:
$R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Подставим в полученную формулу значение длины ребра $a = 1$ см:
$R = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

20.22. Найдите радиус сферы, описанной около икосаэдра, ребро которого равно 1 см (рис. 20.5).

Рис. 20.5

Дано:

Правильный икосаэдр
Длина ребра $a = 1$ см

Перевод в систему СИ:
$a = 0.01$ м

Найти:

Радиус описанной сферы $R$.

Решение:

Радиус $R$ сферы, описанной около правильного икосаэдра, можно найти, установив связь между ним и длиной ребра икосаэдра $a$. Для этого воспользуемся методом координат.

Рассмотрим икосаэдр с центром в начале декартовой системы координат. Вершины икосаэдра можно задать с помощью золотого сечения $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Для икосаэдра с длиной ребра, равной 2, координаты его 12 вершин можно задать следующим образом: $(0, \pm 1, \pm \phi)$ и все их циклические перестановки, то есть $(\pm \phi, 0, \pm 1)$ и $(\pm 1, \pm \phi, 0)$.

Убедимся, что длина ребра в этой модели действительно равна 2. Для этого найдем расстояние $d$ между двумя соседними вершинами, например, $A(0, 1, \phi)$ и $B(1, \phi, 0)$: $d^2 = (1-0)^2 + (\phi-1)^2 + (0-\phi)^2 = 1 + (\phi-1)^2 + \phi^2$.

Используя свойство золотого сечения $\phi^2 = \phi + 1$, из которого следует, что $\phi - 1 = \frac{1}{\phi}$, а также $(\frac{1}{\phi})^2 = (\phi-1)^2 = \phi^2 - 2\phi + 1 = (\phi+1) - 2\phi + 1 = 2-\phi$. Подставим эти соотношения в выражение для $d^2$: $d^2 = 1 + (2-\phi) + (\phi+1) = 4$.

Следовательно, $d = \sqrt{4} = 2$. Таким образом, выбранные координаты соответствуют икосаэдру с ребром $a=2$.

Радиус описанной сферы $R_{a=2}$ — это расстояние от центра (начала координат) до любой из вершин. Возьмем вершину с координатами $(0, 1, \phi)$: $R_{a=2} = \sqrt{0^2 + 1^2 + \phi^2} = \sqrt{1 + \phi^2}$.

Снова используя свойство $\phi^2 = \phi + 1$, получаем: $R_{a=2} = \sqrt{1 + (\phi + 1)} = \sqrt{2 + \phi} = \sqrt{2 + \frac{1+\sqrt{5}}{2}} = \sqrt{\frac{4+1+\sqrt{5}}{2}} = \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}$.

Этот радиус соответствует икосаэдру с ребром $a=2$. Для икосаэдра с произвольной длиной ребра $a$ радиус описанной сферы будет пропорционален длине ребра. Следовательно, радиус $R$ для икосаэдра с ребром $a$ можно найти из пропорции: $\frac{R}{a} = \frac{R_{a=2}}{2}$. $R = \frac{a}{2} R_{a=2} = \frac{a}{2} \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}} = a \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}$.

Для удобства можно преобразовать это выражение к стандартному виду: $R = a \sqrt{\frac{2(5+\sqrt{5})}{16}} = \frac{a}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}$. Это и есть общая формула для радиуса сферы, описанной около икосаэдра с ребром $a$.

Теперь подставим в эту формулу заданное значение длины ребра $a = 1$ см: $R = \frac{1}{4}\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}$ см.

Ответ: $R = \frac{1}{4}\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}$ см.

20.23. Найдите радиус сферы, описанной около додекаэдра, ребро которого равно 1 см (рис. 20.6).

Рис. 20.6

Дано:

Длина ребра правильного додекаэдра $a = 1$ см.

Перевод в систему СИ: $a = 0.01$ м.

Найти:

Радиус описанной сферы $R$.

Решение:

Додекаэдр — это правильный многогранник, гранями которого являются двенадцать правильных пятиугольников. Он относится к одному из пяти платоновых тел. Для всех платоновых тел существуют стандартные формулы, которые связывают их ключевые параметры, такие как длина ребра $a$ и радиус описанной сферы $R$.

Для нахождения радиуса сферы, описанной около додекаэдра с ребром $a$, используется следующая формула:

$R = \frac{a}{4}(\sqrt{15} + \sqrt{3})$

Эта формула также может быть выражена через золотое сечение $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ в виде $R = \frac{\sqrt{3}}{2} \phi a$, что является эквивалентной записью.

Подставим в формулу заданное в условии задачи значение длины ребра $a = 1$ см:

$R = \frac{1 \text{ см}}{4}(\sqrt{15} + \sqrt{3}) = \frac{\sqrt{15} + \sqrt{3}}{4}$ см.

Полученное выражение является точным значением искомого радиуса.

Ответ: $R = \frac{\sqrt{15} + \sqrt{3}}{4}$ см.