Номер 20.14, страница 123 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

20.14. Может ли центр описанной около пирамиды сферы находиться:
а) внутри пирамиды;
б) на основании пирамиды;
в) вне пирамиды? Изобразите соответствующие пирамиды, вписанные в сферу.

а) внутри пирамиды

Да, центр описанной около пирамиды сферы может находиться внутри пирамиды.

Решение
Центр описанной сферы $O$ равноудален от всех вершин пирамиды. Он лежит на перпендикуляре к плоскости основания, проведенном через центр $O_{осн}$ окружности, описанной около основания. Рассмотрим для примера правильную пирамиду, у которой высота $h$ больше радиуса $r$ окружности, описанной около основания. Пусть $O$ - центр сферы, $O_{осн}$ - центр основания, $S$ - вершина пирамиды, $A$ - одна из вершин основания. Точки $S$, $O$, $O_{осн}$ лежат на высоте пирамиды. Пусть $R$ - радиус описанной сферы. Тогда $OS = OA = R$. Введем систему координат с началом в центре основания $O_{осн}$. Ось $Oz$ направим вдоль высоты. Тогда $O_{осн}(0,0,0)$, $S(0,0,h)$, $A(r,0,0)$. Центр сферы $O$ имеет координаты $(0,0,z_O)$. Из равенства $OS^2 = OA^2$ получаем: $(h - z_O)^2 = r^2 + z_O^2$
$h^2 - 2hz_O + z_O^2 = r^2 + z_O^2$
$z_O = \frac{h^2 - r^2}{2h}$
Центр сферы находится внутри пирамиды, если его аппликата $z_O$ удовлетворяет условию $0 < z_O < h$. $0 < \frac{h^2 - r^2}{2h} < h$
Так как $h>0$, это эквивалентно $0 < h^2 - r^2 < 2h^2$. Первое неравенство $h^2 - r^2 > 0$ дает $h > r$. Второе неравенство $h^2 - r^2 < 2h^2$ выполняется всегда, так как $-r^2 < h^2$. Следовательно, если высота правильной пирамиды больше радиуса описанной около основания окружности ($h>r$), то центр описанной сферы лежит внутри пирамиды. Это соответствует случаю, когда боковое ребро образует с плоскостью основания угол, больший $45^\circ$.

На рисунке показано диагональное сечение такой пирамиды (треугольник $SAA'$) и описанной около нее сферы (окружность).

Ответ: Да, может.

б) на основании пирамиды

Да, центр описанной около пирамиды сферы может находиться на основании пирамиды.

Решение
Используя те же рассуждения и формулу для аппликаты центра сферы $z_O = \frac{h^2 - r^2}{2h}$, что и в пункте а), найдем условие, при котором центр сферы лежит в плоскости основания. Это произойдет, если $z_O = 0$. $\frac{h^2 - r^2}{2h} = 0 \implies h^2 - r^2 = 0 \implies h = r$ (поскольку $h, r > 0$). Таким образом, центр описанной сферы совпадает с центром окружности, описанной около основания, если высота правильной пирамиды равна радиусу этой окружности ($h=r$). Геометрически это означает, что угол при вершине в диагональном сечении пирамиды равен $90^\circ$.

На рисунке показано диагональное сечение пирамиды для случая $h=r$. Центр сферы $O$ совпадает с центром основания $O_{осн}$.

Ответ: Да, может.

в) вне пирамиды

Да, центр описанной около пирамиды сферы может находиться вне пирамиды.

Решение
Центр сферы будет находиться вне пирамиды, если он расположен ниже плоскости основания или выше вершины пирамиды.
1. Центр ниже основания. Рассмотрим снова правильную пирамиду. Центр сферы $O$ с аппликатой $z_O = \frac{h^2 - r^2}{2h}$ будет вне пирамиды под основанием, если $z_O < 0$. $\frac{h^2 - r^2}{2h} < 0 \implies h^2 - r^2 < 0 \implies h < r$. Если высота правильной пирамиды меньше радиуса описанной около основания окружности ($h$

На рисунке показано диагональное сечение "плоской" пирамиды ($h$SAA'OO_оснh

2. Центр выше вершины. Для правильной пирамиды это невозможно. Однако, если пирамида не является правильной, такой случай возможен. Пусть основание пирамиды лежит в плоскости $z=0$, $O_{осн}$ в начале координат. Вершина $S$ имеет проекцию $H$ на плоскость основания. Расстояние $O_{осн}H = d$. Координата центра сферы $z_O = \frac{h^2 + d^2 - r^2}{2h}$. Центр сферы будет выше вершины ($z_O > h$), если: $\frac{h^2 + d^2 - r^2}{2h} > h \implies h^2 + d^2 - r^2 > 2h^2 \implies d^2 > h^2 + r^2$. Это условие выполняется, если проекция вершины пирамиды на плоскость основания находится достаточно далеко от центра описанной окружности основания.

На рисунке показана "наклонная" пирамида, у которой центр сферы $O$ расположен выше вершины $S$.

Ответ: Да, может.