Номер 20.15, страница 123 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

20.15. Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 3 см, высота равна $\sqrt{3}$ см. Укажите расположение центра описанной около этой пирамиды сферы и найдите ее радиус.

Дано:

SABC - правильная треугольная пирамида

Сторона основания $a = 3$ см

Высота пирамиды $H = \sqrt{3}$ см

Перевод в систему СИ не требуется, так как все единицы измерения согласованы.

Найти:

1. Расположение центра описанной сферы.

2. Радиус описанной сферы $R$.

Решение:

Пусть SABC — данная правильная треугольная пирамида с вершиной S и основанием ABC. Так как пирамида правильная, ее основанием является равносторонний треугольник ABC, а высота SO проецируется в центр этого треугольника — точку O, которая является центром описанной и вписанной окружностей для основания.

Центр сферы, описанной около правильной пирамиды, всегда лежит на ее высоте. Обозначим центр сферы $O_{сф}$, а ее радиус — $R$.

Все вершины пирамиды равноудалены от центра описанной сферы, то есть расстояние от $O_{сф}$ до каждой из вершин A, B, C и S равно радиусу $R$.

Найдем радиус окружности, описанной около основания ABC. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности $r_{осн}$ вычисляется по формуле:

$r_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим значение $a = 3$ см:

$r_{осн} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.

Этот радиус равен расстоянию от центра основания O до его вершин: $OA = OB = OC = r_{осн} = \sqrt{3}$ см.

Рассмотрим сечение пирамиды, проходящее через вершину S, высоту SO и вершину основания A. Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник $\triangle SOA$, где $SO = H = \sqrt{3}$ см — высота пирамиды, а $OA = r_{осн} = \sqrt{3}$ см — катет, равный радиусу описанной окружности основания.

Мы видим, что катеты треугольника $\triangle SOA$ равны: $SO = OA = \sqrt{3}$ см. Следовательно, этот треугольник является равнобедренным прямоугольным треугольником.

Центр описанной сферы $O_{сф}$ лежит на высоте SO и должен быть равноудален от вершин S и A, то есть $O_{сф}S = O_{сф}A = R$. Точка, равноудаленная от концов отрезка SA, лежит на его серединном перпендикуляре. Таким образом, $O_{сф}$ является точкой пересечения высоты SO и серединного перпендикуляра к боковому ребру SA.

В равнобедренном треугольнике $\triangle SOA$ ($SO=OA$), серединный перпендикуляр к гипотенузе SA проходит через вершину прямого угла O. Следовательно, точка пересечения высоты SO и серединного перпендикуляра к SA — это сама точка O.

Таким образом, центр описанной сферы $O_{сф}$ совпадает с центром основания пирамиды O.

Теперь найдем радиус сферы $R$. Так как центр сферы находится в точке O, радиус равен расстоянию от точки O до любой вершины пирамиды.

Расстояние от O до вершины S:

$R = OS = H = \sqrt{3}$ см.

Расстояние от O до вершины A:

$R = OA = r_{осн} = \sqrt{3}$ см.

Оба расстояния равны, что подтверждает правильность определения положения центра сферы.

Ответ:

Центр описанной сферы совпадает с центром основания пирамиды. Радиус сферы равен $\sqrt{3}$ см.