Номер 20.19, страница 123 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

20.19. Основанием пирамиды $SABCD$ является прямоугольник со сторонами равными 1 см и 2 см. Ребро $SD$ равно 2 см и является высотой этой пирамиды. Найдите радиус описанной сферы.

Дано:

Пирамида $SABCD$
Основание $ABCD$ — прямоугольник
Стороны основания: $a = 1$ см, $b = 2$ см
Высота $h = SD = 2$ см

$a = 0.01$ м
$b = 0.02$ м
$h = 0.02$ м

Найти:

Радиус описанной сферы $R$.

Решение:

Для нахождения радиуса описанной сферы воспользуемся методом, основанным на свойствах прямоугольного параллелепипеда.

По условию, основанием пирамиды является прямоугольник $ABCD$, значит, угол $\angle ADC = 90^\circ$. Также по условию, ребро $SD$ является высотой пирамиды, что означает, что оно перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Из этого следует, что ребро $SD$ перпендикулярно каждой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $D$. В частности, $SD \perp AD$ и $SD \perp DC$.

Таким образом, три ребра пирамиды, выходящие из вершины $D$ — $DA$, $DC$ и $DS$ — попарно перпендикулярны. Эти три ребра можно рассматривать как измерения прямоугольного параллелепипеда, у которого вершина $D$ является одной из вершин, а ребра $DA$, $DC$ и $DS$ лежат на его осях.

Все вершины пирамиды $S, A, B, C, D$ являются вершинами этого воображаемого прямоугольного параллелепипеда. Следовательно, сфера, описанная около пирамиды $SABCD$, будет той же самой сферой, что описана около этого прямоугольного параллелепипеда.

Известно, что радиус $R$ сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, равен половине длины его главной диагонали $d$. Длина главной диагонали вычисляется по формуле:

$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

где $a, b, c$ — длины ребер параллелепипеда, выходящих из одной вершины. В нашем случае это длины ребер $DC$, $DA$ и $SD$.

Пусть $DC = 1$ см, $DA = 2$ см и $SD = 2$ см. Подставим эти значения в формулу для диагонали:

$d = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ см.

Теперь найдем радиус описанной сферы, который равен половине диагонали:

$R = \frac{d}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$ см.

Ответ: 1.5 см.