Вопросы, страница 126 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Какой многогранник называется описанным около сферы?

2. Какая сфера называется вписанной в многогранник?

3. В какую прямую призму можно вписать сферу?

4. В какой прямоугольный параллелепипед можно вписать сферу?

5. Где находится центр сферы, вписанной в куб?

6. Чему равен радиус сферы, вписанной в куб, ребро которого равно $a$?

Какой многогранник называется описанным около сферы?

Многогранник называется описанным около сферы, если все его грани касаются этой сферы. Иными словами, сфера находится внутри многогранника, и каждая грань многогранника является плоскостью, касательной к сфере в некоторой точке.

Ответ: Многогранник называется описанным около сферы, если все его грани касаются сферы.

2. Какая сфера называется вписанной в многогранник?

Сфера называется вписанной в многогранник, если она касается всех граней этого многогранника. Это то же самое определение, что и в предыдущем вопросе, но с точки зрения сферы, а не многогранника. Многогранник, в который вписана сфера, называется описанным около этой сферы.

Ответ: Сфера называется вписанной в многогранник, если она касается всех его граней.

3. В какую прямую призму можно вписать сферу?

Чтобы в прямую призму можно было вписать сферу, должны выполняться два условия. Во-первых, в основание призмы (которое является многоугольником) должна вписываться окружность. Во-вторых, высота призмы должна быть равна диаметру этой вписанной окружности. Центр вписанной сферы будет расположен на середине высоты призмы, соединяющей центры окружностей, вписанных в верхнее и нижнее основания.

Ответ: Сферу можно вписать в прямую призму, в основание которой можно вписать окружность, и высота которой равна диаметру этой окружности.

4. В какой прямоугольный параллелепипед можно вписать сферу?

Прямоугольный параллелепипед — это прямая призма с прямоугольником в основании. Чтобы в него можно было вписать сферу, в его основание (прямоугольник) должна вписываться окружность. Это возможно только в том случае, если прямоугольник является квадратом. Кроме того, согласно условию для прямой призмы, высота параллелепипеда должна быть равна диаметру вписанной в основание окружности. Для квадрата со стороной $a$ диаметр вписанной окружности равен $a$. Следовательно, высота параллелепипеда также должна быть равна $a$. Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, является кубом.

Ответ: Сферу можно вписать в прямоугольный параллелепипед, который является кубом.

5. Где находится центр сферы, вписанной в куб?

Центр сферы, вписанной в многогранник, должен быть равноудален от всех его граней. В кубе такой точкой является его геометрический центр, который также является его центром симметрии. Эта точка является точкой пересечения всех пространственных диагоналей куба.

Ответ: Центр сферы, вписанной в куб, находится в центре куба, то есть в точке пересечения его диагоналей.

6. Чему равен радиус сферы, вписанной в куб, ребро которого равно а?

Дано

Куб, ребро которого равно $a$.

В куб вписана сфера.

Найти

Радиус вписанной сферы $R$.

Решение

Сфера, вписанная в куб, касается всех шести его граней. Расстояние между двумя противоположными гранями куба равно длине его ребра, то есть $a$. Это расстояние в точности равно диаметру $D$ вписанной сферы, так как сфера касается этих граней в их центрах.

Следовательно, диаметр сферы $D = a$.

Радиус сферы $R$ равен половине ее диаметра:

$R = \frac{D}{2}$

Подставив значение диаметра, получаем искомый радиус:

$R = \frac{a}{2}$

Ответ: $R = \frac{a}{2}$