Номер 21.5, страница 126 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

21.5. Верно ли, что если в призму можно вписать цилиндр, то в нее можно вписать сферу?

Нет, это утверждение неверно. Для того чтобы в призму можно было вписать сферу, должны выполняться более строгие условия, чем для вписанного цилиндра. Давайте разберемся почему.

Условие для вписывания цилиндра в призму:

Чтобы в призму можно было вписать цилиндр, необходимо и достаточно, чтобы в основание призмы можно было вписать окружность (если призма прямая) или чтобы сечение призмы, перпендикулярное боковым ребрам, было многоугольником, в который можно вписать окружность (если призма наклонная).

Если в основание призмы можно вписать окружность радиуса $r$, а высота призмы равна $H$, то в эту призму можно вписать цилиндр с радиусом основания $r$ и высотой $H$. При этом никакой связи между высотой призмы $H$ и радиусом вписанной в основание окружности $r$ не требуется.

Условие для вписывания сферы в призму:

Чтобы в призму можно было вписать сферу, необходимо, чтобы она была прямой и чтобы выполнялись два условия:

1. В основание призмы можно вписать окружность. Пусть ее радиус равен $r$.

2. Высота призмы $H$ должна быть равна диаметру этой вписанной окружности, то есть $H = 2r$.

Это связано с тем, что центр вписанной сферы должен быть равноудален от всех граней призмы (обоих оснований и всех боковых граней). Расстояние от центра до боковых граней равно радиусу вписанной в основание окружности $r$, а расстояние до каждого из оснований равно половине высоты $H/2$. Для сферы все эти расстояния должны быть равны ее радиусу, следовательно, $r = H/2$, или $H = 2r$.

Контрпример:

Рассмотрим прямую призму, в основании которой лежит квадрат со стороной $a$, а высота призмы $H = 3a$. Это прямоугольный параллелепипед.

1. В основание (квадрат) можно вписать окружность. Ее радиус $r = a/2$.

2. Следовательно, в эту призму можно вписать цилиндр с радиусом основания $r = a/2$ и высотой $H = 3a$. Условие для вписывания цилиндра выполняется.

3. Теперь проверим, можно ли вписать сферу. Для этого высота призмы должна быть равна диаметру вписанной в основание окружности: $H = 2r = 2(a/2) = a$.

4. В нашем примере $H = 3a$, а требуемая высота для вписанной сферы – $a$. Поскольку $3a \neq a$, в данную призму нельзя вписать сферу.

Таким образом, мы нашли призму, в которую можно вписать цилиндр, но нельзя вписать сферу.

Ответ: Нет, неверно.