Номер 21.12, страница 127 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

21.12. В правильную шестиугольную призму вписана сфера радиусом 1 см. Найдите сторону основания этой призмы.

Дано:

Призма - правильная шестиугольная.
В призму вписана сфера.
Радиус вписанной сферы $R = 1 \text{ см}$.

Перевод в систему СИ:
$R = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Сторону основания призмы $a$.

Решение:

По условию, в правильную шестиугольную призму вписана сфера. Это означает, что сфера касается обоих оснований призмы и всех ее боковых граней.

Рассмотрим сечение призмы плоскостью, проходящей через центр сферы и параллельной основаниям призмы. В этом сечении мы получим правильный шестиугольник (основание призмы), в который вписана окружность (большая окружность сферы).

Радиус этой вписанной в шестиугольник окружности равен радиусу вписанной сферы, то есть $r = R = 1 \text{ см}$.

Найдем связь между стороной правильного шестиугольника $a$ и радиусом вписанной в него окружности $r$. Правильный шестиугольник можно разбить на 6 одинаковых равносторонних треугольников со стороной $a$. Радиус вписанной окружности $r$ является высотой (апофемой) одного из таких треугольников.

Высоту равностороннего треугольника со стороной $a$ можно найти по формуле, вытекающей из теоремы Пифагора:

$r^2 = a^2 - (\frac{a}{2})^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$

Отсюда $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Выразим сторону $a$ через радиус $r$:

$a = \frac{2r}{\sqrt{3}}$

Подставим известное значение радиуса $r = 1 \text{ см}$:

$a = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \text{ см}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$a = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ см}$

Ответ: $a = \frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ см}$.