Номер 21.16, страница 127 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

21.16. Повторите определение конуса, вписанного в пирамиду, и сферы, вписанной в конус.

Конус, вписанный в пирамиду

Конус называется вписанным в пирамиду, если их вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды.

При этом должны выполняться следующие условия: вершина пирамиды и вершина конуса являются одной и той же точкой; основание конуса (окружность) вписано в многоугольник, являющийся основанием пирамиды, то есть касается всех его сторон; прямая, содержащая высоту конуса, совпадает с прямой, содержащей высоту пирамиды.

Конус можно вписать в пирамиду только в том случае, если в многоугольник ее основания можно вписать окружность, и основание высоты пирамиды совпадает с центром этой окружности. В этом случае все апофемы (высоты боковых граней) пирамиды равны между собой и являются образующими вписанного конуса. Боковая поверхность конуса касается боковых граней пирамиды по этим апофемам.

Ответ: Конус называется вписанным в пирамиду, если их вершины совпадают, а круг основания конуса вписан в многоугольник основания пирамиды. Это возможно, если в основание пирамиды можно вписать окружность и высота пирамиды проектируется в центр этой окружности.

Сфера, вписанная в конус

Сфера называется вписанной в конус, если она касается основания конуса в его центре и касается каждой образующей конуса (то есть касается боковой поверхности конуса).

Основные свойства: центр вписанной сферы лежит на оси (высоте) конуса; сфера касается плоскости основания конуса в его центре; сфера касается боковой поверхности конуса по окружности, которая лежит в плоскости, параллельной основанию конуса.

В любой конус можно вписать сферу. Радиус $r$ вписанной сферы можно найти, рассмотрев осевое сечение конуса. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник с основанием $2R$ (где $R$ - радиус основания конуса) и высотой $H$ (высота конуса). Сечение сферы является окружностью, вписанной в этот треугольник. Радиус этой окружности равен радиусу вписанной сферы. Если $L$ - образующая конуса, то радиус вписанной сферы вычисляется по формуле:

$r = \frac{R \cdot H}{R + L}$, где $L = \sqrt{R^2 + H^2}$.

Ответ: Сфера называется вписанной в конус, если она касается основания конуса и его боковой поверхности. Центр такой сферы находится на оси конуса, а сама сфера касается основания в его центре и боковой поверхности по окружности.