Номер 22.5, страница 129 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 22. Многогранники, описанные около сферы. Пирамида. Глава IV*. Вписанные и описанные многогранники - номер 22.5, страница 129.

Условие.

22.5.

Найдите радиус сферы, вписанной в правильную четырехугольную пирамиду, стороны основания и высота которой равны 3 см.

Решение 2 (rus).

Дано:
Правильная четырехугольная пирамида
Сторона основания $a = 3$ см
Высота $H = 3$ см

Перевод в систему СИ:
$a = 0.03$ м
$H = 0.03$ м

Найти:
Радиус вписанной сферы $r$

Решение:

Радиус $r$ сферы, вписанной в многогранник (в данном случае, в пирамиду), можно найти по формуле, связывающей объем многогранника $V$ и площадь его полной поверхности $S_{полн}$:

$r = \frac{3V}{S_{полн}}$

1. Найдем объем пирамиды $V$.

Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат. Площадь основания $S_{осн}$ равна:

$S_{осн} = a^2 = 3^2 = 9$ см$^2$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 3 = 9$ см$^3$.

2. Найдем площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$.

Площадь полной поверхности равна сумме площадей основания и боковой поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

Боковая поверхность состоит из четырех одинаковых равнобедренных треугольников. Для нахождения площади боковой грани необходимо найти ее высоту, которая называется апофемой пирамиды ($h_a$).

Апофему можно найти как гипотенузу в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и половина стороны основания $\frac{a}{2}$. По теореме Пифагора:

$h_a^2 = H^2 + (\frac{a}{2})^2$

$h_a^2 = 3^2 + (\frac{3}{2})^2 = 9 + \frac{9}{4} = \frac{36+9}{4} = \frac{45}{4}$

$h_a = \sqrt{\frac{45}{4}} = \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}} = \frac{3\sqrt{5}}{2}$ см.

Площадь одной боковой грани $S_{грани}$ равна:

$S_{грани} = \frac{1}{2} a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{3\sqrt{5}}{2} = \frac{9\sqrt{5}}{4}$ см$^2$.

Площадь всей боковой поверхности $S_{бок}$:

$S_{бок} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot \frac{9\sqrt{5}}{4} = 9\sqrt{5}$ см$^2$.

Теперь найдем площадь полной поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 9 + 9\sqrt{5} = 9(1+\sqrt{5})$ см$^2$.

3. Вычислим радиус вписанной сферы $r$.

Подставим найденные значения объема $V$ и площади полной поверхности $S_{полн}$ в исходную формулу:

$r = \frac{3V}{S_{полн}} = \frac{3 \cdot 9}{9(1+\sqrt{5})} = \frac{27}{9(1+\sqrt{5})} = \frac{3}{1+\sqrt{5}}$ см.

Для упрощения ответа избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{5}-1)$:

$r = \frac{3(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)} = \frac{3(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = \frac{3(\sqrt{5}-1)}{5 - 1} = \frac{3(\sqrt{5}-1)}{4}$ см.

Ответ: $\frac{3(\sqrt{5}-1)}{4}$ см.