Номер 22.9, страница 129 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

22.9. Найдите радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр, ребра которого равны 1 см.

Дано:

Правильный тетраэдр

Длина ребра $a = 1$ см

В системе СИ:

$a = 0.01$ м

Найти:

$r$ — радиус вписанной сферы.

Решение:

Радиус вписанной в многогранник сферы можно найти по формуле $V = \frac{1}{3} S_{полн} \cdot r$, где $V$ — объём многогранника, а $S_{полн}$ — площадь его полной поверхности. Отсюда $r = \frac{3V}{S_{полн}}$. Однако существует и более короткий геометрический способ для правильного тетраэдра.

Центр вписанной сферы в правильном тетраэдре совпадает с его центром (центроидом) — точкой пересечения высот. Эта точка делит каждую высоту в отношении 3:1, считая от вершины. Радиус вписанной сферы $r$ равен длине меньшего отрезка, т.е. расстоянию от центра до грани. Таким образом, $r = \frac{1}{4}H$, где $H$ — высота тетраэдра.

Найдем высоту $H$ правильного тетраэдра с ребром $a$. Пусть $DABC$ — правильный тетраэдр, $DO$ — его высота, опущенная на основание $ABC$. Основание $ABC$ — правильный треугольник. Точка $O$ является центром этого треугольника.

Рассмотрим основание $ABC$. Пусть $CM$ — высота (и медиана) этого треугольника. Длина высоты правильного треугольника со стороной $a$ равна $CM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Точка $O$ (центр треугольника) делит медиану $CM$ в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, расстояние от вершины основания до его центра равно $CO = \frac{2}{3}CM = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $DOC$. Гипотенуза $DC$ — это ребро тетраэдра, равное $a$. Катет $CO = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. Катет $DO$ — это высота тетраэдра $H$. По теореме Пифагора: $H^2 = DC^2 - CO^2 = a^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 = a^2 - \frac{3a^2}{9} = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$ $H = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Теперь мы можем найти радиус вписанной сферы: $r = \frac{1}{4}H = \frac{1}{4} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a\sqrt{6}}{12}$.

Подставим в эту формулу заданное значение длины ребра $a = 1$ см: $r = \frac{1 \cdot \sqrt{6}}{12} = \frac{\sqrt{6}}{12}$ см.

Ответ: $r = \frac{\sqrt{6}}{12}$ см.