Номер 22.16, страница 130 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

22.16. Повторите определение и свойства площади фигуры на плоскости.

Определение площади
Площадь фигуры на плоскости — это неотрицательная величина, которая сопоставляется этой фигуре и характеризует её размер в плоскости. Формально понятие площади вводится с помощью набора аксиом (свойств), которые определяют, как эта величина должна себя вести.
Интуитивно площадь можно понимать как количество единичных квадратов (квадратов со стороной, равной единице длины), которыми можно покрыть данную фигуру. Для простых фигур, таких как многоугольники, это количество можно вычислить точно. Для фигур со сложными или криволинейными границами площадь находят с помощью предельных переходов, что лежит в основе интегрального исчисления.
Таким образом, определение площади тесно связано с её свойствами, которые по сути и задают это понятие.
Ответ: Площадь — это неотрицательная величина, характеризующая размер части плоскости, занимаемой фигурой, и измеряемая в квадратных единицах на основе выбранного эталона (единичного квадрата).

Свойства площади
Основные свойства площади, часто принимаемые за аксиомы:
1. Неотрицательность. Площадь любой плоской фигуры $F$ является неотрицательным числом: $S(F) \ge 0$.
2. Нормировка. Площадь квадрата, сторона которого равна единице длины (единичного квадрата), принимается равной единице. Эта единица измерения площади (например, 1 м², 1 см² и т. д.) служит эталоном.
3. Инвариантность. Равные (конгруэнтные) фигуры имеют равные площади. Если фигура $F_1$ конгруэнтна фигуре $F_2$ ($F_1 \cong F_2$), то их площади равны: $S(F_1) = S(F_2)$. Это означает, что площадь не меняется при перемещении, повороте или зеркальном отражении фигуры.
4. Аддитивность. Если фигура $F$ составлена из конечного числа других фигур $F_1, F_2, \dots, F_n$, которые не имеют общих внутренних точек (то есть могут пересекаться только по своим границам), то площадь фигуры $F$ равна сумме площадей составляющих её фигур: $S(F) = S(F_1) + S(F_2) + \dots + S(F_n)$.
Из этих основных свойств вытекает также свойство монотонности: если фигура $F_1$ является частью фигуры $F_2$ (то есть $F_1 \subseteq F_2$), то площадь фигуры $F_1$ не превосходит площади фигуры $F_2$: $S(F_1) \le S(F_2)$.
Ответ: Ключевые свойства площади: неотрицательность ($S \ge 0$), инвариантность (равные фигуры имеют равные площади), аддитивность (площадь целой фигуры равна сумме площадей её непересекающихся частей) и нормировка (площадь единичного квадрата равна 1).