Номер 3, страница 130 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

3. Найдите сторону основания правильной шестиугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен 1 см:

A) 1 см; B) $ \sqrt{2} $ см; C) $ \sqrt{3} $ см; D) $ 2\sqrt{3} $ см.

Дано:

Правильная шестиугольная призма, вписанная в цилиндр.

Радиус основания цилиндра $R = 1$ см.

Найти:

Сторону основания призмы $a$.

Решение:

Если правильная шестиугольная призма вписана в цилиндр, то ее основание, которое является правильным шестиугольником, вписано в окружность основания цилиндра. Это означает, что все вершины шестиугольника лежат на этой окружности.

Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен радиусу основания цилиндра. Таким образом, радиус описанной окружности для основания призмы составляет $R = 1$ см.

Для правильного шестиугольника существует свойство: его сторона ($a$) равна радиусу описанной около него окружности ($R$).

Докажем это. Правильный шестиугольник можно разделить на 6 одинаковых треугольников, соединив его вершины с центром. Центральный угол каждого такого треугольника равен $360^\circ / 6 = 60^\circ$. Две стороны каждого треугольника являются радиусами описанной окружности ($R$). Так как треугольник равнобедренный с углом при вершине $60^\circ$, то углы при основании также равны $(180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ$. Следовательно, все эти треугольники являются равносторонними. Это означает, что третья сторона треугольника, которая является стороной шестиугольника ($a$), также равна радиусу ($R$).

Таким образом, $a = R$.

Также можно воспользоваться общей формулой для стороны правильного n-угольника ($a_n$), вписанного в окружность радиуса $R$:

$a_n = 2R \sin(\frac{180^\circ}{n})$

Для шестиугольника ($n=6$):

$a_6 = 2R \sin(\frac{180^\circ}{6}) = 2R \sin(30^\circ)$

Поскольку $\sin(30^\circ) = 0.5$, получаем:

$a = 2 \cdot R \cdot 0.5 = R$

Подставим известное значение радиуса $R = 1$ см:

$a = 1$ см.

Этот результат соответствует варианту А).

Ответ: 1 см.