Номер 8, страница 131 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна 1 см. Боковое ребро призмы равно 2 см. Найдите радиус описанной сферы:

A) 1 см;

B) $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см;

C) $\sqrt{3}$ см;

D) $\frac{\sqrt{6}}{2}$ см.

Дано:
Правильная четырехугольная призма
Сторона основания, $a = 1$ см
Боковое ребро (высота), $h = 2$ см

Найти:
Радиус описанной сферы, $R$

Решение:

Радиус сферы, описанной около прямой призмы, можно найти, зная высоту призмы и радиус окружности, описанной около ее основания. Центр описанной сферы находится в середине отрезка, соединяющего центры оснований призмы. Рассмотрим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является радиус описанной сферы $R$, а катетами — радиус окружности, описанной около основания призмы, $r$, и половина высоты призмы $\frac{h}{2}$.

По теореме Пифагора, квадрат радиуса описанной сферы равен:

$R^2 = r^2 + (\frac{h}{2})^2$

1. Найдем радиус $r$ окружности, описанной около основания.
В основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат со стороной $a = 1$ см. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине его диагонали $d$.
Найдем диагональ квадрата по теореме Пифагора: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.
$d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
Подставим значение $a = 1$ см: $d = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$ см.
Радиус описанной окружности основания: $r = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

2. Найдем половину высоты призмы.
Высота призмы $h$ равна ее боковому ребру, $h = 2$ см.
$\frac{h}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

3. Вычислим радиус описанной сферы $R$.
Подставим найденные значения $r$ и $\frac{h}{2}$ в основную формулу:
$R^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + 1^2 = \frac{2}{4} + 1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$
Теперь найдем сам радиус $R$, извлекая квадратный корень:
$R = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$R = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ см.

Альтернативное решение:
Диаметр $2R$ описанной сферы равен главной диагонали $D$ призмы. Поскольку правильная четырехугольная призма является прямоугольным параллелепипедом с измерениями $a, a, h$, квадрат ее главной диагонали можно найти по формуле:
$D^2 = a^2 + a^2 + h^2$
Подставим известные значения $a=1$ см и $h=2$ см:
$D^2 = 1^2 + 1^2 + 2^2 = 1 + 1 + 4 = 6$
$D = \sqrt{6}$ см.
Радиус сферы равен половине диагонали:
$R = \frac{D}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$ см.