Страница 131 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна 1 см. Боковое ребро призмы равно 2 см. Найдите радиус описанной сферы:

A) 1 см;

B) $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см;

C) $\sqrt{3}$ см;

D) $\frac{\sqrt{6}}{2}$ см.

Дано:
Правильная четырехугольная призма
Сторона основания, $a = 1$ см
Боковое ребро (высота), $h = 2$ см

Найти:
Радиус описанной сферы, $R$

Решение:

Радиус сферы, описанной около прямой призмы, можно найти, зная высоту призмы и радиус окружности, описанной около ее основания. Центр описанной сферы находится в середине отрезка, соединяющего центры оснований призмы. Рассмотрим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является радиус описанной сферы $R$, а катетами — радиус окружности, описанной около основания призмы, $r$, и половина высоты призмы $\frac{h}{2}$.

По теореме Пифагора, квадрат радиуса описанной сферы равен:

$R^2 = r^2 + (\frac{h}{2})^2$

1. Найдем радиус $r$ окружности, описанной около основания.
В основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат со стороной $a = 1$ см. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине его диагонали $d$.
Найдем диагональ квадрата по теореме Пифагора: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.
$d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
Подставим значение $a = 1$ см: $d = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$ см.
Радиус описанной окружности основания: $r = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

2. Найдем половину высоты призмы.
Высота призмы $h$ равна ее боковому ребру, $h = 2$ см.
$\frac{h}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

3. Вычислим радиус описанной сферы $R$.
Подставим найденные значения $r$ и $\frac{h}{2}$ в основную формулу:
$R^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + 1^2 = \frac{2}{4} + 1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$
Теперь найдем сам радиус $R$, извлекая квадратный корень:
$R = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$R = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ см.

Альтернативное решение:
Диаметр $2R$ описанной сферы равен главной диагонали $D$ призмы. Поскольку правильная четырехугольная призма является прямоугольным параллелепипедом с измерениями $a, a, h$, квадрат ее главной диагонали можно найти по формуле:
$D^2 = a^2 + a^2 + h^2$
Подставим известные значения $a=1$ см и $h=2$ см:
$D^2 = 1^2 + 1^2 + 2^2 = 1 + 1 + 4 = 6$
$D = \sqrt{6}$ см.
Радиус сферы равен половине диагонали:
$R = \frac{D}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$ см.

9. Сторона основания правильной шестиугольной призмы равна 4 см. Боковое ребро призмы равно 6 см. Найдите радиус описанной сферы:

A) 4 см; B) 5 см; C) 6 см; D) 8 см.

Дано:

Правильная шестиугольная призма.

Сторона основания, $a = 4$ см.

Боковое ребро (высота), $h = 6$ см.

$a = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$
$h = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Радиус описанной сферы, $R_{сф}$.

Решение:

Для того чтобы сфера была описана около призмы, все вершины призмы должны лежать на поверхности сферы. Центр такой сферы будет находиться на середине высоты призмы, соединяющей центры оснований.

Радиус описанной сферы $R_{сф}$ можно найти с помощью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, катетами которого являются радиус окружности, описанной около основания призмы ($R_{осн}$), и половина высоты призмы ($h/2$), а гипотенузой — радиус описанной сферы ($R_{сф}$).

Формула для нахождения радиуса описанной сферы:

$R_{сф}^2 = R_{осн}^2 + (\frac{h}{2})^2$

1. Найдем радиус окружности, описанной около основания ($R_{осн}$).
Основанием призмы является правильный шестиугольник. В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен его стороне.

$R_{осн} = a = 4$ см.

2. Найдем половину высоты призмы.
Высота призмы $h$ равна ее боковому ребру, то есть $h = 6$ см.

$\frac{h}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

3. Подставим найденные значения в формулу для радиуса описанной сферы:

$R_{сф}^2 = 4^2 + 3^2$

$R_{сф}^2 = 16 + 9$

$R_{сф}^2 = 25$

$R_{сф} = \sqrt{25}$

$R_{сф} = 5$ см.

Полученный результат соответствует варианту B).

Ответ: 5 см.

10. Найдите радиус сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны 1, 2, 3:

A) $\frac{\sqrt{5}}{2}$; B) $\frac{\sqrt{7}}{2}$; C) $\frac{\sqrt{11}}{2}$; D) $\frac{\sqrt{14}}{2}$.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед с ребрами (длина, ширина, высота), равными:

$a = 1$

$b = 2$

$c = 3$

Найти:

Радиус $R$ сферы, описанной около этого прямоугольного параллелепипеда.

Решение:

Центр сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, совпадает с центром самого параллелепипеда, то есть с точкой пересечения его диагоналей. Диаметр этой сферы равен длине пространственной диагонали параллелепипеда.

Квадрат пространственной диагонали $d$ прямоугольного параллелепипеда с ребрами $a, b, c$ вычисляется по формуле, которая является обобщением теоремы Пифагора для трех измерений:

$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Подставим в формулу данные значения ребер:

$d^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2$

$d^2 = 1 + 4 + 9$

$d^2 = 14$

Отсюда длина пространственной диагонали равна:

$d = \sqrt{14}$

Радиус $R$ описанной сферы равен половине ее диаметра $d$:

$R = \frac{d}{2}$

Подставим найденное значение диагонали:

$R = \frac{\sqrt{14}}{2}$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами ответа, видим, что он соответствует варианту D).

Ответ: $ \frac{\sqrt{14}}{2} $

11. Где находится центр сферы, описанной около прямой треугольной призмы, основанием которой является треугольник, стороны которого равны 3 см, 4 см, 5 см:

A) внутри пирамиды;

B) на грани пирамиды;

C) на ребре пирамиды;

D) вне пирамиды?

Дано:

Многогранник: прямая треугольная призма.
Стороны основания: $a = 3$ см, $b = 4$ см, $c = 5$ см.

В системе СИ:

$a = 0.03$ м
$b = 0.04$ м
$c = 0.05$ м

Найти:

Где находится центр сферы, описанной около призмы.

Решение:

1. Сначала определим тип треугольника, лежащего в основании призмы. Для этого проверим, удовлетворяют ли длины его сторон теореме Пифагора.

Возьмем стороны $a = 3$ см и $b = 4$ см в качестве катетов, а сторону $c = 5$ см в качестве гипотенузы.

Сумма квадратов катетов: $a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.

Квадрат гипотенузы: $c^2 = 5^2 = 25$.

Так как $a^2 + b^2 = c^2$, то треугольник в основании является прямоугольным.

2. Центр сферы, описанной около любой прямой призмы, находится на середине высоты, соединяющей центры окружностей, описанных около оснований призмы.

3. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности всегда находится в середине его гипотенузы.

4. Следовательно, для данной призмы центры описанных окружностей для нижнего и верхнего оснований лежат на серединах гипотенуз (сторон длиной 5 см).

5. Эти гипотенузы являются ребрами оснований призмы. Боковая грань призмы, которая проходит через эти два ребра-гипотенузы, является прямоугольником. Отрезок, соединяющий середины этих гипотенуз, лежит целиком в этой боковой грани.

6. Центр описанной сферы, который является серединой этого отрезка, также будет лежать на этой боковой грани.

Таким образом, центр сферы находится на грани призмы.

(Примечание: в вариантах ответа, вероятно, допущена опечатка, и вместо "пирамиды" должно быть "призмы", так как в условии задачи речь идет о призме).

Ответ: B) на грани призмы.

12. Найдите радиус сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды, боковые ребра которой равны 2 см, а высота равна 1 см:
A) 1 см;
B) 2 см;
C) 3 см;
D) 4 см.

Дано:

Правильная треугольная пирамида

Боковое ребро $L = 2$ см

Высота $H = 1$ см

Все данные представлены в согласованных единицах измерения (сантиметры), поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Радиус описанной сферы $R$.

Решение:

Для нахождения радиуса сферы, описанной около правильной пирамиды, можно использовать общую формулу, связывающую радиус описанной сферы $R$, высоту пирамиды $H$ и боковое ребро $L$. Центр описанной сферы лежит на высоте пирамиды.

Рассмотрим осевое сечение пирамиды, которое проходит через высоту пирамиды и боковое ребро. Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом описанной окружности основания $r_{осн}$ (как катеты) и боковым ребром $L$ (как гипотенуза). По теореме Пифагора:

$L^2 = H^2 + r_{осн}^2$

Центр описанной сферы (точка $Q$) лежит на высоте пирамиды. Расстояние от центра сферы до любой вершины пирамиды равно радиусу сферы $R$. Рассмотрим две вершины: вершину пирамиды $S$ и одну из вершин основания $A$.

$QS = R$

$QA = R$

Рассмотрим треугольник, образованный центром сферы $Q$, центром основания $O$ и вершиной основания $A$. Этот треугольник прямоугольный с катетами $QO$ и $OA=r_{осн}$ и гипотенузой $QA=R$.

$R^2 = QO^2 + r_{осн}^2$

Расстояние $QO$ можно выразить через высоту $H$ и радиус $R$. Точки $S$, $Q$, $O$ лежат на одной прямой (высоте). Расстояние от центра сферы до вершины пирамиды $QS = R$. Расстояние от вершины до основания $SO = H$. Тогда $QO = |H - R|$.

Подставим это в уравнение:

$R^2 = (H - R)^2 + r_{осн}^2$

Раскроем скобки:

$R^2 = H^2 - 2HR + R^2 + r_{осн}^2$

Упростим, сократив $R^2$:

$0 = H^2 - 2HR + r_{осн}^2$

Выразим $2HR$:

$2HR = H^2 + r_{осн}^2$

Как мы установили ранее, $L^2 = H^2 + r_{осн}^2$. Заменим правую часть на $L^2$:

$2HR = L^2$

Отсюда находим формулу для радиуса описанной сферы:

$R = \frac{L^2}{2H}$

Подставим в эту формулу данные из условия задачи:

$L = 2$ см

$H = 1$ см

$R = \frac{2^2}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Ответ:

Радиус описанной сферы равен 2 см.

13. Найдите радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной пирамиды, боковые ребра которой равны 2 см, а высота равна 1 см.

A) 1 см; B) 2 см; C) 3 см; D) 4 см.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида.

Боковое ребро, $l = 2$ см.

Высота, $H = 1$ см.

Перевод в систему СИ:

$l = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

$H = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Радиус описанной сферы, $R$.

Решение:

Центр сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на ее высоте. Радиус $R$ этой сферы можно найти, рассмотрев сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту и боковое ребро.

Пусть $S$ - вершина пирамиды, $P$ - центр ее квадратного основания. Тогда $SP$ - это высота пирамиды, $SP = H = 1$ см. Пусть $A$ - одна из вершин основания. Тогда $SA$ - это боковое ребро, $SA = l = 2$ см. Отрезок $AP$ - это половина диагонали квадрата в основании.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SPA$. По теореме Пифагора: $SA^2 = SP^2 + AP^2$. Отсюда мы можем найти квадрат половины диагонали основания:

$AP^2 = SA^2 - SP^2 = l^2 - H^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$ см$^2$.

Радиус сферы, описанной около правильной пирамиды, вычисляется по формуле:

$R = \frac{l^2}{2H}$

Эта формула выводится из рассмотрения сечения пирамиды, которое представляет собой равнобедренный треугольник (в нашем случае $SAC$), вписанный в большую окружность сферы. Для этого треугольника радиус описанной окружности (равный $R$) можно найти как $R = \frac{abc}{4A_{\text{триуг}}}$. Либо через свойства подобных треугольников, образованных центром сферы, вершиной и основанием пирамиды.

Подставим данные из условия задачи в формулу:

$l = 2$ см

$H = 1$ см

$R = \frac{2^2}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Ответ: $2$ см.

14. Где находится центр сферы, описанной около правильной четырехугольной пирамиды, ребра которой равны 3 см:

A) внутри пирамиды;

B) на боковой грани пирамиды;

C) на основании пирамиды;

D) вне пирамиды?

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида.

Все ребра равны: $a = 3 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$a = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$.

Найти:

Местоположение центра сферы, описанной около пирамиды.

Решение:

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадратное основание, а $S$ — вершина пирамиды. По условию, все ребра пирамиды равны. Обозначим длину ребра через $a$. Таким образом, сторона основания равна $a$, и каждое боковое ребро также равно $a$. В данном случае $a = 3$ см.

Центр описанной сферы — это точка, равноудаленная от всех вершин пирамиды. В правильной пирамиде центр описанной сферы всегда лежит на ее высоте. Обозначим высоту $SO$, где $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата $ABCD$).

Найдем высоту пирамиды $h = SO$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. Катет $OA$ является половиной диагонали $AC$ квадрата $ABCD$. Диагональ квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле $d = a\sqrt{2}$.

Следовательно, длина отрезка $OA$ равна:

$OA = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Гипотенуза $SA$ в треугольнике $SOA$ — это боковое ребро пирамиды, длина которого по условию равна $a$. Применим теорему Пифагора для треугольника $SOA$ ($SA^2 = SO^2 + OA^2$):

$a^2 = h^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2$

$a^2 = h^2 + \frac{a^2 \cdot 2}{4}$

$a^2 = h^2 + \frac{a^2}{2}$

Выразим отсюда квадрат высоты $h^2$:

$h^2 = a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}$

Тогда высота $h$ равна:

$h = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Теперь сравним найденную высоту $h = SO$ с половиной диагонали основания $OA$:

$h = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ и $OA = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Мы видим, что $h = OA$.

Центр описанной сферы $K$ должен быть равноудален от всех вершин. Расстояния от центра основания $O$ до вершин основания равны:

$OA = OB = OC = OD = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Расстояние от центра основания $O$ до вершины пирамиды $S$ равно высоте:

$OS = h = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Поскольку $OA = OB = OC = OD = OS$, точка $O$ (центр основания) равноудалена от всех пяти вершин пирамиды. Следовательно, точка $O$ и является центром описанной сферы.

Точка $O$ — центр квадрата $ABCD$, который является основанием пирамиды. Значит, центр описанной сферы находится на основании пирамиды.

Ответ:

C) на основании пирамиды.

15. Найдите радиус сферы, вписанной в куб, ребро которого равно 2 см:

A) 1 см;

B) $\sqrt{2}$ см;

C) $\sqrt{3}$ см;

D) $2\sqrt{3}$ см.

Дано:

Куб, в который вписана сфера.
Длина ребра куба $a = 2 \text{ см}$.

Найти:

Радиус вписанной сферы $r$.

Решение:

Если сфера вписана в куб, она касается каждой из шести граней куба в их центре. Диаметр вписанной сферы равен расстоянию между двумя противоположными гранями куба.

Расстояние между противоположными гранями куба равно длине его ребра. Таким образом, диаметр сферы $d$ равен ребру куба $a$.

Математически это можно записать как: $d = a$

Радиус сферы $r$ по определению равен половине её диаметра: $r = \frac{d}{2}$

Объединив эти два равенства, получаем формулу для радиуса сферы, вписанной в куб: $r = \frac{a}{2}$

Подставим в эту формулу заданное значение длины ребра куба $a = 2 \text{ см}$: $r = \frac{2 \text{ см}}{2} = 1 \text{ см}$

Следовательно, радиус вписанной сферы равен 1 см, что соответствует варианту A).

Ответ: A) 1 см.

16. Найдите ребро куба, описанного около сферы радиусом 2 см:

А) 1 см;

B) 2 см;

C) 3 см;

D) 4 см.

Дано:

Радиус сферы $R = 2$ см.

Перевод в систему СИ:
$R = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$.

Найти:

Ребро куба $a$.

Решение:

По условию задачи, куб описан около сферы. Это означает, что сфера вписана в куб. Вписанная сфера касается центра каждой из шести граней куба.

Следовательно, диаметр вписанной сферы равен расстоянию между противоположными гранями куба. Расстояние между противоположными гранями куба в свою очередь равно длине его ребра.

Таким образом, ребро куба $a$ равно диаметру сферы $D$: $a = D$

Диаметр сферы вычисляется как удвоенный радиус: $D = 2 \cdot R$

Подставим известное значение радиуса в формулу: $D = 2 \cdot 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$

Следовательно, ребро куба равно: $a = 4 \text{ см}$

Этот результат соответствует варианту D).

Ответ: $4$ см.