Страница 135 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

23.6. Во сколько раз уменьшится объем прямоугольного параллелепипеда, если все его ребра уменьшить в два раза?

Дано:

Пусть начальные ребра прямоугольного параллелепипеда равны $a_1$, $b_1$, $c_1$.

Начальный объем: $V_1 = a_1 \cdot b_1 \cdot c_1$.

Новые ребра параллелепипеда после уменьшения в 2 раза: $a_2 = \frac{a_1}{2}$, $b_2 = \frac{b_1}{2}$, $c_2 = \frac{c_1}{2}$.

Новый объем: $V_2$.

Найти:

Во сколько раз уменьшится объем, то есть найти отношение $\frac{V_1}{V_2}$.

Решение:

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется как произведение длин трех его измерений: длины, ширины и высоты.

Первоначальный объем параллелепипеда $V_1$ равен:

$V_1 = a_1 \cdot b_1 \cdot c_1$

Согласно условию задачи, все ребра были уменьшены в два раза. Новые длины ребер ($a_2$, $b_2$, $c_2$) будут равны:

$a_2 = \frac{a_1}{2}$

$b_2 = \frac{b_1}{2}$

$c_2 = \frac{c_1}{2}$

Новый объем параллелепипеда $V_2$ будет равен произведению новых ребер:

$V_2 = a_2 \cdot b_2 \cdot c_2 = \frac{a_1}{2} \cdot \frac{b_1}{2} \cdot \frac{c_1}{2}$

Упростим выражение для $V_2$:

$V_2 = \frac{a_1 \cdot b_1 \cdot c_1}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{a_1 \cdot b_1 \cdot c_1}{8}$

Так как $V_1 = a_1 \cdot b_1 \cdot c_1$, мы можем выразить новый объем $V_2$ через первоначальный объем $V_1$:

$V_2 = \frac{V_1}{8}$

Чтобы найти, во сколько раз уменьшился объем, необходимо найти отношение первоначального объема $V_1$ к новому объему $V_2$:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{V_1}{\frac{V_1}{8}} = V_1 \cdot \frac{8}{V_1} = 8$

Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда уменьшится в 8 раз.

Ответ: в 8 раз.

23.7. Как изменится объем прямоугольного параллелепипеда, если:

а) одно из его измерений увеличить в два раза;

б) если два его измерения уменьшить в три раза?

Решение

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле произведения трех его измерений (длины, ширины и высоты). Обозначим измерения как $a, b, c$.

Начальный объем $V_1$ равен: $V_1 = a \cdot b \cdot c$

а) одно из его измерений увеличить в два раза

Пусть одно из измерений, например, длина $a$, увеличится в два раза. Новые измерения параллелепипеда будут $2a, b, c$. Найдем новый объем $V_2$: $V_2 = (2a) \cdot b \cdot c = 2 \cdot (a \cdot b \cdot c)$

Поскольку $V_1 = a \cdot b \cdot c$, то мы можем записать: $V_2 = 2 \cdot V_1$

Это означает, что новый объем в два раза больше начального.

Ответ: объем увеличится в 2 раза.

б) если два его измерения уменьшить в три раза

Пусть два измерения, например, длина $a$ и ширина $b$, уменьшатся в три раза. Новые измерения параллелепипеда будут $\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, c$. Найдем новый объем $V_2$: $V_2 = \left(\frac{a}{3}\right) \cdot \left(\frac{b}{3}\right) \cdot c = \frac{1}{3 \cdot 3} \cdot (a \cdot b \cdot c) = \frac{1}{9} \cdot (a \cdot b \cdot c)$

Поскольку $V_1 = a \cdot b \cdot c$, то мы можем записать: $V_2 = \frac{1}{9} \cdot V_1$

Это означает, что новый объем в девять раз меньше начального.

Ответ: объем уменьшится в 9 раз.

23.8. Строительный кирпич весит 4 кг. Сколько граммов весит игрушечный кирпич из того же материала, все размеры которого в четыре раза меньше?

Дано:

Масса строительного кирпича, $m_1 = 4$ кг
Все размеры игрушечного кирпича меньше в 4 раза.

Масса $m_1$ дана в основной единице системы СИ (килограммах), поэтому перевод не требуется.

Найти:

Массу игрушечного кирпича $m_2$ в граммах.

Решение:

Масса любого тела может быть найдена по формуле, связывающей массу $m$, плотность материала $\rho$ и объем тела $V$: $m = \rho \cdot V$

В условии сказано, что игрушечный кирпич сделан из того же материала, что и строительный. Это означает, что плотность у обоих кирпичей одинаковая ($\rho_1 = \rho_2 = \rho$).

Запишем выражения для масс обоих кирпичей:
Масса строительного кирпича: $m_1 = \rho \cdot V_1$
Масса игрушечного кирпича: $m_2 = \rho \cdot V_2$

Объем кирпича, который имеет форму прямоугольного параллелепипеда, равен произведению его длины $l$, ширины $w$ и высоты $h$.
Объем строительного кирпича: $V_1 = l_1 \cdot w_1 \cdot h_1$

По условию, все линейные размеры игрушечного кирпича ($l_2, w_2, h_2$) в 4 раза меньше соответствующих размеров строительного кирпича ($l_1, w_1, h_1$).
$l_2 = \frac{l_1}{4}$, $w_2 = \frac{w_1}{4}$, $h_2 = \frac{h_1}{4}$

Теперь найдем объем игрушечного кирпича, подставив его размеры в формулу объема: $V_2 = l_2 \cdot w_2 \cdot h_2 = \frac{l_1}{4} \cdot \frac{w_1}{4} \cdot \frac{h_1}{4} = \frac{l_1 \cdot w_1 \cdot h_1}{4 \cdot 4 \cdot 4} = \frac{V_1}{4^3} = \frac{V_1}{64}$

Как мы видим, объем игрушечного кирпича в 64 раза меньше объема строительного.

Чтобы найти массу игрушечного кирпича, найдем отношение масс $m_2$ и $m_1$: $\frac{m_2}{m_1} = \frac{\rho \cdot V_2}{\rho \cdot V_1}$

Поскольку плотности $\rho$ одинаковы, они сокращаются: $\frac{m_2}{m_1} = \frac{V_2}{V_1}$

Подставим найденное соотношение объемов $\frac{V_2}{V_1} = \frac{1}{64}$: $\frac{m_2}{m_1} = \frac{1}{64}$

Отсюда масса игрушечного кирпича $m_2$ равна: $m_2 = \frac{m_1}{64}$

Подставим известное значение массы строительного кирпича $m_1 = 4$ кг: $m_2 = \frac{4 \text{ кг}}{64} = \frac{1}{16} \text{ кг}$

Вопрос задачи требует дать ответ в граммах. Переведем килограммы в граммы, зная, что 1 кг = 1000 г: $m_2 = \frac{1}{16} \cdot 1000 \text{ г} = \frac{1000}{16} \text{ г} = 62,5 \text{ г}$

Ответ: масса игрушечного кирпича равна 62,5 г.

23.9. Какова должна быть площадь кабинета высотой 3,5 м для класса в 28 человек, если на каждого ученика нужно $7,5\text{ м}^3$ воздуха?

Дано:

Высота кабинета $h = 3,5$ м

Количество человек $N = 28$

Объем воздуха на одного ученика $V_1 = 7,5$ м³

Найти:

Площадь кабинета $S$

Решение:

1. Сначала определим общий объем воздуха, который должен быть в кабинете. Для этого умножим количество человек на требуемый объем воздуха на одного человека:

$V_{общ} = N \cdot V_1$

$V_{общ} = 28 \cdot 7,5 \text{ м³} = 210 \text{ м³}$

2. Объем помещения (в данном случае, кабинета) вычисляется как произведение его площади на высоту. Формула для объема: $V = S \cdot h$.

3. Зная общий объем и высоту кабинета, мы можем найти его площадь, разделив объем на высоту:

$S = \frac{V_{общ}}{h}$

Подставим известные значения в формулу:

$S = \frac{210 \text{ м³}}{3,5 \text{ м}} = 60 \text{ м²}$

Ответ: площадь кабинета должна быть $60$ м².

23.10. Найдите объемы деталей, составленных из прямоугольных параллелепипедов, изображенных на рисунке 23.2.

a)

б)

Рис. 23.2

a)

Решение
Для нахождения объема детали а) представим ее как два соединенных прямоугольных параллелепипеда и найдем сумму их объемов. Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \times b \times c$, где $a, b, c$ - его измерения (длина, ширина, высота).
Мысленно разделим деталь на два блока: левый высокий блок и правый низкий блок.
1. Левый блок (вертикальный) имеет измерения: ширина = 1, высота = 2, глубина = 2.
Его объем $V_1 = 1 \times 2 \times 2 = 4$.
2. Правый блок (горизонтальный) имеет измерения: высота = 1, глубина = 2. Его ширина равна разности общей ширины детали (2) и ширины левого блока (1), то есть $2 - 1 = 1$.
Его объем $V_2 = 1 \times 1 \times 2 = 2$.
3. Общий объем детали равен сумме объемов этих двух блоков:
$V_a = V_1 + V_2 = 4 + 2 = 6$.
Ответ: 6.

б)

Решение
Деталь б) представляет собой три ступени. Для нахождения ее объема можно сложить объемы трех составляющих ее прямоугольных параллелепипедов.
Разделим деталь на три вертикальных блока (ступени) слева направо.
1. Левый блок (самая низкая ступень) имеет высоту 1 и глубину 2. Его ширина равна $3 - 1 - 1 = 1$, так как общая ширина равна 3, а ширина средней и правой ступеней по 1.
Объем первого блока: $V_1 = 1 \times 1 \times 2 = 2$.
2. Средний блок имеет ширину 1 и глубину 2. Его высота на 1 больше, чем у левого блока, то есть $1 + 1 = 2$.
Объем второго блока: $V_2 = 1 \times 2 \times 2 = 4$.
3. Правый блок (самая высокая ступень) имеет ширину 1 и глубину 2. Его высота на 1 больше, чем у среднего блока, то есть $2 + 1 = 3$.
Объем третьего блока: $V_3 = 1 \times 3 \times 2 = 6$.
4. Общий объем детали равен сумме объемов этих трех блоков:
$V_б = V_1 + V_2 + V_3 = 2 + 4 + 6 = 12$.
Ответ: 12.

23.11. Найдите объемы деталей, составленных из прямоугольных параллелепипедов, изображенных на рисунке 23.3.

a)

$V_a = 3 \cdot 4 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \cdot 4 = 48 - 8 = 40$

б)

$V_b = 4 \cdot 4 \cdot 4 - 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64 - 8 = 56$

Рис. 23.3

а)

Решение:

Объем данной детали можно вычислить как разность объемов двух прямоугольных параллелепипедов: большого, из которого как бы вырезана деталь, и малого, представляющего собой вырезанный паз. Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$, где $a, b, c$ — его измерения.

1. Найдем объем большого параллелепипеда ($V_1$), который бы получился, если бы деталь была сплошной. Его размеры согласно рисунку: длина = 3, ширина = 4, высота = 4.
$V_1 = 3 \times 4 \times 4 = 48$ (кубических единиц).

2. Найдем объем вырезанной части (паза) ($V_2$). Это прямоугольный параллелепипед с размерами: длина = 1, ширина = 4, высота = 2.
$V_2 = 1 \times 4 \times 2 = 8$ (кубических единиц).

3. Искомый объем детали ($V_a$) равен разности объемов $V_1$ и $V_2$.
$V_a = V_1 - V_2 = 48 - 8 = 40$ (кубических единиц).

Ответ: 40

б)

Решение:

Данная деталь представляет собой прямоугольный параллелепипед со сквозным отверстием, также имеющим форму прямоугольного параллелепипеда. Объем детали найдем как разность объемов внешнего параллелепипеда и внутреннего отверстия.

1. Найдем объем внешнего параллелепипеда ($V_1$). Согласно рисунку, это куб со стороной 4.
$V_1 = 4 \times 4 \times 4 = 4^3 = 64$ (кубических единицы).

2. Найдем объем внутреннего сквозного отверстия ($V_2$). Его основание — квадрат со стороной 2, а глубина (длина) равна глубине всей детали, то есть 4.
$V_2 = 2 \times 2 \times 4 = 16$ (кубических единиц).

3. Искомый объем детали ($V_б$) равен разности объемов $V_1$ и $V_2$.
$V_б = V_1 - V_2 = 64 - 16 = 48$ (кубических единиц).

Ответ: 48