Страница 140 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Выведите формулу объема правильной:

а) треугольной;

б) шестиугольной призмы, стороны основания которой равны $a$, а высота равна $h$.

Дано:

Призма правильная.

Сторона основания - $a$.

Высота призмы - $h$.

Найти:

Формулу объема $V$.

Решение:

Объем любой призмы вычисляется по общей формуле:

$V = S_{осн} \cdot h$

где $S_{осн}$ — это площадь основания призмы, а $h$ — ее высота. Поскольку призма является правильной, ее основание — правильный многоугольник.

а) Правильная треугольная призма

В основании правильной треугольной призмы лежит правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a$. Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле, использующей сторону и угол между сторонами ($60^\circ$):

$S_{осн} = \frac{1}{2} a \cdot a \cdot \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Теперь, зная площадь основания, мы можем найти объем призмы, умножив площадь основания на высоту $h$:

$V = S_{осн} \cdot h = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot h = \frac{a^2h\sqrt{3}}{4}$

Ответ: Формула объема правильной треугольной призмы: $V = \frac{a^2h\sqrt{3}}{4}$.

б) Правильная шестиугольная призма

В основании правильной шестиугольной призмы лежит правильный шестиугольник со стороной $a$. Правильный шестиугольник можно разбить на шесть одинаковых равносторонних треугольников со стороной $a$.

Площадь одного такого треугольника, как мы выяснили в пункте а), равна $S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Следовательно, площадь всего шестиугольного основания будет в шесть раз больше:

$S_{осн} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Подставим полученную площадь основания в формулу для объема призмы:

$V = S_{осн} \cdot h = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \cdot h = \frac{3a^2h\sqrt{3}}{2}$

Ответ: Формула объема правильной шестиугольной призмы: $V = \frac{3a^2h\sqrt{3}}{2}$.

Вопросы

1. Как формулируется принцип Кавальери?

2. Как вычисляется объем призмы?

Как формулируется принцип Кавальери?

Принцип Кавальери, также известный как метод неделимых, является фундаментальным утверждением в геометрии, которое позволяет вычислять и сравнивать объемы (или площади) фигур. Он был сформулирован итальянским математиком Бонавентурой Кавальери в XVII веке и послужил одним из предшественников интегрального исчисления.

Формулировка принципа для трехмерных тел (объемов) звучит следующим образом: Если два тела могут быть расположены таким образом, что любая плоскость, параллельная некоторой заданной плоскости, пересекает оба тела по фигурам с равными площадями, то объемы этих двух тел равны.

Иными словами, если мы можем "нарезать" два тела на бесконечно тонкие параллельные слои, и площадь каждого слоя одного тела равна площади соответствующего ему по высоте слоя другого тела, то и полные объемы тел будут одинаковы. Этот принцип позволяет, например, доказать, что объем наклонной призмы равен объему прямой призмы с той же площадью основания и высотой.

Ответ: Принцип Кавальери формулируется так: если два тела таковы, что площади их сечений, параллельных некоторой плоскости, равны на любом расстоянии от этой плоскости, то объемы этих тел равны.

2. Как вычисляется объем призмы?

Объем призмы, как прямой, так и наклонной, вычисляется по одной и той же общей формуле. Объем призмы равен произведению площади ее основания на высоту.

Математически это выражается следующей формулой:

$V = S_{осн} \cdot h$

В этой формуле:

$V$ — это искомый объем призмы;
$S_{осн}$ — это площадь многоугольника, который является основанием призмы (например, площадь треугольника, квадрата, шестиугольника и т.д.);
$h$ — это высота призмы.

Важно правильно понимать, что такое высота призмы. Высота ($h$) — это перпендикулярное расстояние между плоскостями, в которых лежат основания призмы. Для прямой призмы, у которой боковые ребра перпендикулярны основаниям, высота равна длине бокового ребра. Для наклонной призмы высота не равна длине бокового ребра, а является длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одного основания на плоскость другого.

Ответ: Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания призмы, а $h$ — ее высота.

24.1. Основанием треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, высота призмы равна 10 см. Найдите объем данной призмы.

Дано:

Основание призмы — прямоугольный треугольник

Катет $a = 3$ см

Катет $b = 4$ см

Высота призмы $h = 10$ см

$a = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$
$b = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$
$h = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Объем призмы $V$.

Решение:

Объем любой призмы вычисляется по формуле, которая связывает площадь ее основания и высоту:

$V = S_{осн} \cdot h$

где $S_{осн}$ — это площадь основания призмы, а $h$ — ее высота.

В основании данной призмы лежит прямоугольный треугольник. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Обозначим катеты как $a$ и $b$.

Формула для площади основания ($S_{осн}$):

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

Подставим в эту формулу известные значения длин катетов:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 3 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = \frac{12}{2} \text{ см}^2 = 6 \text{ см}^2$

Теперь, зная площадь основания ($S_{осн} = 6 \text{ см}^2$) и высоту призмы ($h = 10 \text{ см}$), мы можем вычислить ее объем:

$V = S_{осн} \cdot h = 6 \text{ см}^2 \cdot 10 \text{ см} = 60 \text{ см}^3$

Ответ: $60 \text{ см}^3$.

Найдите объем данной призмы.

24.2. Найдите объем правильной треугольной призмы, сторона основания которой 4 см и высота 5 см.

Дано:

Правильная треугольная призма
Сторона основания $a = 4$ см
Высота призмы $H = 5$ см

$a = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$
$H = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Объем призмы $V$.

Решение:

Объем призмы вычисляется по формуле произведения площади ее основания на высоту:

$V = S_{осн} \cdot H$

Так как призма правильная, в ее основании лежит правильный (равносторонний) треугольник. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ находится по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим в эту формулу значение стороны основания $a = 4$ см:

$S_{осн} = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Теперь, зная площадь основания и высоту призмы, мы можем найти ее объем:

$V = S_{осн} \cdot H = 4\sqrt{3} \text{ см}^2 \cdot 5 \text{ см} = 20\sqrt{3} \text{ см}^3$.

Ответ: $20\sqrt{3} \text{ см}^3$.

24.3. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 2 см, а боковые ребра равны 3 см.

Дано:
Правильная шестиугольная призма
Сторона основания, $a = 2$ см
Боковое ребро, $h = 3$ см

$a = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$h = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:
Объем призмы, $V$

Решение:

Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота призмы.

Поскольку призма является правильной, ее основание — правильный шестиугольник, а боковые ребра перпендикулярны основаниям. Это означает, что высота призмы равна ее боковому ребру: $h = 3$ см.

Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$

Эта формула следует из того, что правильный шестиугольник можно разделить на шесть одинаковых равносторонних треугольников со стороной $a$. Площадь одного такого треугольника равна $S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Подставим известное значение стороны основания $a = 2$ см в формулу для площади:

$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (2 \text{ см})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4 \text{ см}^2 = 6\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем найти объем призмы:

$V = S_{осн} \cdot h = 6\sqrt{3} \text{ см}^2 \cdot 3 \text{ см} = 18\sqrt{3} \text{ см}^3$.

Ответ: $18\sqrt{3} \text{ см}^3$.

24.4. Основанием четырехугольной призмы является квадрат со стороной 1 см. Боковое ребро равно 2 см и наклонено к плоскости основания под углом $60^{\circ}$. Найдите объем призмы.

Дано:

Основание призмы — квадрат.

Сторона основания, $a = 1 \text{ см}$

Боковое ребро, $l = 2 \text{ см}$

Угол наклона бокового ребра к плоскости основания, $\alpha = 60^\circ$

Перевод в систему СИ:

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

$l = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Объем призмы, $V$

Решение:

Объем любой призмы вычисляется по формуле:

$V = S_{\text{осн}} \cdot H$

где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания призмы, а $H$ — ее высота.

1. Найдем площадь основания. Основанием является квадрат со стороной $a = 1 \text{ см}$. Площадь квадрата вычисляется по формуле $a^2$.

$S_{\text{осн}} = a^2 = 1^2 = 1 \text{ см}^2$

2. Найдем высоту призмы $H$. Высота призмы, боковое ребро $l$ и проекция бокового ребра на плоскость основания образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике боковое ребро $l$ является гипотенузой, а высота $H$ — катетом, противолежащим углу наклона $\alpha$.

Таким образом, для нахождения высоты мы можем использовать синус угла $\alpha$:

$\sin(\alpha) = \frac{H}{l}$

Отсюда выражаем высоту:

$H = l \cdot \sin(\alpha)$

Подставим известные значения $l=2 \text{ см}$ и $\alpha = 60^\circ$:

$H = 2 \cdot \sin(60^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \text{ см}$

3. Теперь, зная площадь основания и высоту, можем вычислить объем призмы:

$V = S_{\text{осн}} \cdot H = 1 \text{ см}^2 \cdot \sqrt{3} \text{ см} = \sqrt{3} \text{ см}^3$

Ответ: $V = \sqrt{3} \text{ см}^3$.