Страница 146 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

25.17. Многоугольник, изображенный на рисунке 25.4, все углы которого прямые, вращается вокруг прямой AB, содержащей сторону, равную 3 см. Найдите объем тела вращения.

F 1 E
1 1
H 1 G D 1 C
1 1
A B
3

Рис. 25.4

Дано:

Многоугольник ABCDEFGH, все углы которого прямые, вращается вокруг прямой AB.
Длины сторон:
$AB = 3$ см
$BC = 1$ см
$CD = 1$ см
$DE = 1$ см
$EF = 1$ см
$FG = 1$ см
$GH = 1$ см
$HA = 1$ см

Перевод в систему СИ:
$1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$AB = 0.03 \text{ м}$
$BC = CD = DE = EF = FG = GH = HA = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Объем тела вращения $V$.

Решение:

Тело вращения, полученное при вращении данного многоугольника вокруг прямой AB, можно представить как сумму объемов двух тел: цилиндра и полого цилиндра. Для этого разобьем исходный многоугольник на два прямоугольника.

1. Первый прямоугольник — это основание фигуры с вершинами A, B и противолежащей стороной HC (где H и C - точки из условия, лежащие на высоте 1 см от оси AB). Его размеры $3 \times 1$ см. При вращении этого прямоугольника вокруг стороны AB образуется цилиндр.

Найдем объем этого цилиндра ($V_1$).
Радиус основания цилиндра $R_1$ равен высоте прямоугольника: $R_1 = HA = 1$ см.
Высота цилиндра $h_1$ равна длине стороны AB: $h_1 = 3$ см.
Объем цилиндра вычисляется по формуле:
$V_1 = \pi R_1^2 h_1 = \pi \cdot 1^2 \cdot 3 = 3\pi$ см³.

2. Второй прямоугольник — это верхняя часть фигуры GDEF. Его размеры $1 \times 1$ см. Этот прямоугольник находится на расстоянии 1 см от оси вращения AB. При вращении этого прямоугольника образуется полый цилиндр (тело, ограниченное двумя соосными цилиндрическими поверхностями).

Найдем объем этого полого цилиндра ($V_2$).
Высота полого цилиндра $h_2$ равна длине стороны EF (или GD): $h_2 = 1$ см.
Внешний радиус $R_{внеш}$ равен расстоянию от оси вращения AB до самой дальней стороны EF: $R_{внеш} = HA + FG = 1 + 1 = 2$ см.
Внутренний радиус $R_{внутр}$ равен расстоянию от оси вращения AB до ближайшей стороны GD: $R_{внутр} = HA = 1$ см.
Объем полого цилиндра равен разности объемов внешнего и внутреннего цилиндров:
$V_2 = \pi R_{внеш}^2 h_2 - \pi R_{внутр}^2 h_2 = \pi h_2 (R_{внеш}^2 - R_{внутр}^2)$
$V_2 = \pi \cdot 1 \cdot (2^2 - 1^2) = \pi (4 - 1) = 3\pi$ см³.

3. Общий объем тела вращения $V$ равен сумме объемов $V_1$ и $V_2$:
$V = V_1 + V_2 = 3\pi + 3\pi = 6\pi$ см³.

Переведем ответ в систему СИ:
$1 \text{ см}^3 = (10^{-2} \text{ м})^3 = 10^{-6} \text{ м}^3$.
$V = 6\pi \times 10^{-6}$ м³.

Ответ: $6\pi$ см³ (или $6\pi \times 10^{-6}$ м³).

25.18. Найдите объем цилиндра, вписанного призму, основанием которой является правильный треугольник со стороной 1 см, а боковые ребра призмы равны 2 см.

Дано:

Призма, в основание которой вписан цилиндр.

Основание призмы - правильный треугольник со стороной $a = 1$ см.

Боковое ребро призмы (высота) $h_{пр} = 2$ см.

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

$h_{пр} = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Объем цилиндра $V_{цил}$.

Решение:

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V_{цил} = \pi r^2 h$, где $r$ - радиус основания цилиндра, а $h$ - его высота.

Поскольку цилиндр вписан в призму, его высота равна высоте призмы. Основание призмы — правильный треугольник, из чего следует, что призма прямая, и ее высота равна длине бокового ребра. Таким образом, высота цилиндра $h = h_{пр} = 2$ см.

Основание цилиндра (окружность) вписано в основание призмы (правильный треугольник). Следовательно, радиус $r$ основания цилиндра равен радиусу окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$.

Формула для нахождения радиуса окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Подставим значение стороны $a = 1$ см:

$r = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ см.

Теперь мы можем вычислить объем цилиндра, подставив найденные значения радиуса $r$ и высоты $h$ в формулу объема:

$V_{цил} = \pi r^2 h = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)^2 \cdot 2$

Выполним вычисления:

$V_{цил} = \pi \cdot \frac{3}{36} \cdot 2 = \pi \cdot \frac{1}{12} \cdot 2 = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$ см$^3$.

Ответ: объем цилиндра равен $\frac{\pi}{6}$ см$^3$.

25.19. В основании призмы прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Боковые ребра равны 5 см. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

Дано:

Призма, в основании которой лежит прямоугольный треугольник.

Катет $a = 6$ см

Катет $b = 8$ см

Боковое ребро призмы (высота) $H = 5$ см

Перевод в систему СИ:

$a = 0.06$ м

$b = 0.08$ м

$H = 0.05$ м

Найти:

Объем описанного цилиндра $V_{цил}$.

Решение:

Объем цилиндра вычисляется по формуле:

$V_{цил} = S_{осн} \cdot H_{цил} = \pi R^2 H_{цил}$

где $R$ - радиус основания цилиндра, а $H_{цил}$ - его высота.

Поскольку цилиндр описан около призмы, его высота равна высоте (боковому ребру) призмы, а основание цилиндра представляет собой окружность, описанную около основания призмы.

1. Найдем высоту цилиндра.

Высота цилиндра равна боковому ребру призмы:

$H_{цил} = H = 5$ см.

2. Найдем радиус основания цилиндра.

Основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетами $a = 6$ см и $b = 8$ см. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы $c$.

Найдем гипотенузу по теореме Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2$

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Теперь найдем радиус описанной окружности (и, следовательно, радиус основания цилиндра):

$R = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

3. Найдем объем цилиндра.

Подставим найденные значения $R$ и $H_{цил}$ в формулу объема:

$V_{цил} = \pi R^2 H_{цил} = \pi \cdot 5^2 \cdot 5 = \pi \cdot 25 \cdot 5 = 125\pi$ см³.

Ответ: $125\pi$ см³.

25.20. В правильную шестиугольную призму со стороной основания 1 см и боковым ребром 2 см вписан цилиндр. Найдите объем этого цилиндра.

Дано:

Правильная шестиугольная призма

Сторона основания призмы, $a = 1$ см

Боковое ребро призмы, $h_{пр} = 2$ см

$a = 0.01$ м

$h_{пр} = 0.02$ м

Найти:

Объем вписанного цилиндра, $V_{цил}$

Решение:

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$, где $r$ — радиус основания, а $h$ — высота цилиндра. Для удобства вычислений будем использовать исходные данные в сантиметрах.

Поскольку цилиндр вписан в правильную шестиугольную призму, его высота $h$ равна высоте призмы, а основание цилиндра является окружностью, вписанной в правильный шестиугольник (основание призмы).

Высота цилиндра равна боковому ребру призмы:

$h = h_{пр} = 2$ см.

Радиус $r$ основания цилиндра равен радиусу окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной $a$. Этот радиус, который также является апофемой шестиугольника, находится по формуле:

$r = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Подставляем значение стороны основания $a = 1$ см:

$r = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Теперь найдем объем цилиндра, подставив значения $r$ и $h$ в формулу объема:

$V_{цил} = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot 2$

$V_{цил} = \pi \cdot \frac{3}{4} \cdot 2 = \frac{6\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$ см³.

Ответ: $\frac{3\pi}{2}$ см³.

25.21. Около правильной шестиугольной призмы со стороной основания 1 см описан цилиндр. Боковые ребра призмы равны 2 см. Найдите объем этого цилиндра.

Дано:

Правильная шестиугольная призма, вписанная в цилиндр

Сторона основания призмы $a = 1$ см

Боковое ребро призмы $h_{призмы} = 2$ см

Перевод в систему СИ:
$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$h_{призмы} = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Объем цилиндра $V_{цилиндра}$.

Решение:

Объем цилиндра вычисляется по формуле:

$V_{цилиндра} = S_{осн} \cdot h_{цилиндра} = \pi R^2 h_{цилиндра}$

где $R$ — это радиус основания цилиндра, а $h_{цилиндра}$ — его высота.

Так как цилиндр описан около правильной шестиугольной призмы, их высоты равны. Высота призмы равна ее боковому ребру.

$h_{цилиндра} = h_{призмы} = 2$ см.

Основание цилиндра — это круг, описанный около основания призмы, то есть около правильного шестиугольника. Радиус круга, описанного около правильного шестиугольника, равен стороне этого шестиугольника.

Следовательно, радиус основания цилиндра $R$ равен стороне основания призмы $a$:

$R = a = 1$ см.

Теперь можем найти объем цилиндра, подставив известные значения в формулу:

$V_{цилиндра} = \pi \cdot R^2 \cdot h_{цилиндра} = \pi \cdot (1 \text{ см})^2 \cdot 2 \text{ см} = 2\pi \text{ см}^3$.

Ответ: $2\pi \text{ см}^3$.

25.22. Докажите, что любая плоскость, проходящая через середину отрезка, соединяющего центры оснований цилиндра, делит его на две равновеликие части.

Рассмотрим цилиндр. Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры его оснований. Отрезок, соединяющий центры оснований, $O_1O_2$, является осью цилиндра. Пусть точка $M$ — середина отрезка $O_1O_2$. Докажем, что точка $M$ является центром симметрии цилиндра.

Для доказательства введем декартову систему координат. Поместим начало координат, точку $O(0,0,0)$, в точку $M$. Направим ось $Oz$ вдоль оси цилиндра $O_1O_2$. Пусть высота цилиндра равна $h$, а радиус его основания — $R$. В этой системе координат центры оснований будут иметь координаты $O_1(0, 0, -h/2)$ и $O_2(0, 0, h/2)$. Любая точка $P(x, y, z)$, принадлежащая цилиндру, должна удовлетворять системе неравенств:
$x^2 + y^2 \le R^2$
$-h/2 \le z \le h/2$

Рассмотрим преобразование центральной симметрии относительно начала координат (точки $M$). Это преобразование отображает любую точку $P(x, y, z)$ в точку $P'(-x, -y, -z)$. Проверим, принадлежит ли точка $P'$ цилиндру, если точка $P$ ему принадлежит. Для координат точки $P'$ имеем:
1. $(-x)^2 + (-y)^2 = x^2 + y^2 \le R^2$. Первое условие выполняется.
2. Из второго условия для точки $P$, $-h/2 \le z \le h/2$, следует, что $h/2 \ge -z \ge -h/2$, что равносильно $-h/2 \le -z \le h/2$. Второе условие для точки $P'$ также выполняется.

Поскольку для любой точки $P$, принадлежащей цилиндру, симметричная ей точка $P'$ также принадлежит цилиндру, то цилиндр является телом, симметричным относительно точки $M$.

Пусть $\alpha$ — произвольная плоскость, проходящая через точку $M$ (центр симметрии цилиндра). Эта плоскость делит цилиндр на две части, назовем их $T_1$ и $T_2$. Плоскость $\alpha$ также делит все пространство на два полупространства, $H_1$ и $H_2$. Таким образом, $T_1$ есть пересечение цилиндра и полупространства $H_1$, а $T_2$ — пересечение цилиндра и полупространства $H_2$.

Преобразование центральной симметрии $S_M$ относительно точки $M$ отображает сам цилиндр на себя. Так как плоскость $\alpha$ проходит через центр симметрии $M$, это преобразование также отображает одно полупространство на другое: $S_M(H_1) = H_2$.

Следовательно, преобразование $S_M$ отображает часть $T_1$ на часть $T_2$. То есть, $T_2$ является образом $T_1$ при центральной симметрии.

Центральная симметрия является движением (изометрией) в пространстве, а любое движение сохраняет объем. Отсюда следует, что объемы частей $T_1$ и $T_2$ равны: $V(T_1) = V(T_2)$.

Таким образом, любая плоскость, проходящая через середину отрезка, соединяющего центры оснований цилиндра, делит его на две равновеликие (равные по объему) части, что и требовалось доказать.

Доказано. Середина отрезка, соединяющего центры оснований цилиндра, является его центром симметрии. Любая плоскость, проходящая через центр симметрии тела, делит его на две части, которые симметричны друг другу относительно этого центра. Так как центральная симметрия является движением, она сохраняет объем. Следовательно, эти две части имеют равные объемы, то есть являются равновеликими.

25.23. Профиль русла реки имеет форму равнобедренной трапеции, ос-нования которой равны 10 м и 6 м, а высота — 2 м (рис. 25.5).

Скорость течения равна 1 м/сек. Какой объем воды проходит через этот профиль за 1 мин? Ответ дайте в кубических метрах.

10 м

2 м

6 м

Рис. 25.5

Дано:

Профиль русла реки в форме равнобедренной трапеции

Верхнее основание, $a = 10$ м

Нижнее основание, $b = 6$ м

Высота, $h = 2$ м

Скорость течения, $v = 1$ м/с

Время, $t = 1$ мин

Перевод в систему СИ:

$t = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$

Найти:

Объем воды, $V$ — ?

Решение:

Объем воды, который проходит через профиль русла, можно представить как объем прямой призмы, основанием которой является поперечное сечение русла (трапеция), а высотой — расстояние, на которое перемещается вода за данное время.

1. Сначала вычислим площадь поперечного сечения русла, то есть площадь трапеции. Формула для площади трапеции:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Подставим известные значения в формулу:

$S = \frac{10 \text{ м} + 6 \text{ м}}{2} \cdot 2 \text{ м} = \frac{16 \text{ м}}{2} \cdot 2 \text{ м} = 8 \text{ м} \cdot 2 \text{ м} = 16 \text{ м}^2$

2. Объем воды $V$, проходящей через это сечение, равен произведению площади сечения $S$ на скорость течения $v$ и на промежуток времени $t$.

$V = S \cdot v \cdot t$

Подставим численные значения, используя время в секундах, так как скорость дана в м/с:

$V = 16 \text{ м}^2 \cdot 1 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 60 \text{ с} = 960 \text{ м}^3$

Ответ: объем воды, который проходит через профиль русла за 1 минуту, равен 960 м³.

25.24. Чугунная труба имеет длину 2 м и внешний диаметр 20 см. Толщина стенок трубы равна 2 см (рис. 25.6). Найдите вес трубы,

если удельный вес чугуна примерно равен $7,5 \text{ г}/\text{см}^3$. Ответ дайте в килограммах (Примите $\pi \approx 3$).

2 см

20 см

Рис. 25.6

Дано:

Длина трубы, $l = 2 \text{ м}$

Внешний диаметр, $D = 20 \text{ см}$

Толщина стенок, $t = 2 \text{ см}$

Плотность чугуна, $\rho = 7,5 \text{ г/см}^3$

$\pi \approx 3$

Перевод в систему СИ:

$l = 2 \text{ м}$

$D = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м}$

$t = 2 \text{ см} = 0,02 \text{ м}$

$\rho = 7,5 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 7,5 \cdot \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 7,5 \cdot \frac{10^{-3}}{10^{-6}} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 7500 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Найти:

Вес (массу) трубы $m$ в килограммах.

Решение:

В условии просят найти "вес" и дать ответ в килограммах. Килограмм — это единица измерения массы. Поэтому найдем массу трубы. Для этого необходимо вычислить объем материала, из которого сделана труба, и умножить его на плотность чугуна.

Труба представляет собой полый цилиндр. Объем ее материала $V$ равен произведению площади поперечного сечения (кольца) $S$ на длину трубы $l$:

$V = S \cdot l$

Площадь поперечного сечения $S$ вычисляется как разность площадей внешнего и внутреннего кругов:

$S = \pi (R^2 - r^2)$

где $R$ - внешний радиус, а $r$ - внутренний радиус трубы.

1. Найдем внешний радиус $R$. Он равен половине внешнего диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{0,2 \text{ м}}{2} = 0,1 \text{ м}$

2. Найдем внутренний радиус $r$. Он равен внешнему радиусу минус толщина стенки:

$r = R - t = 0,1 \text{ м} - 0,02 \text{ м} = 0,08 \text{ м}$

3. Вычислим площадь поперечного сечения $S$, используя заданное приближение $\pi \approx 3$:

$S \approx 3 \cdot ((0,1)^2 - (0,08)^2) = 3 \cdot (0,01 - 0,0064) = 3 \cdot 0,0036 = 0,0108 \text{ м}^2$

4. Теперь найдем объем чугуна в трубе:

$V = S \cdot l \approx 0,0108 \text{ м}^2 \cdot 2 \text{ м} = 0,0216 \text{ м}^3$

5. Зная объем и плотность, найдем массу трубы $m$ по формуле $m = \rho \cdot V$:

$m \approx 7500 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0,0216 \text{ м}^3 = 162 \text{ кг}$

Ответ: 162 кг.