Страница 143 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

24.18. Найдите объем правильной треугольной призмы, описанной около единичной сферы (рис. 24.11).

Рис. 24.11

Дано:

Правильная треугольная призма, описанная около единичной сферы.
Радиус сферы $R = 1$.

Найти:

Объем призмы $V$.

Решение:

Объем призмы вычисляется по формуле:$V = S_{осн} \cdot h$,где $S_{осн}$ — площадь основания призмы, а $h$ — ее высота.

1. Найдем высоту призмы $h$.
Так как призма описана около сферы, то сфера касается ее верхнего и нижнего оснований. Расстояние между основаниями, равное высоте призмы, равно диаметру вписанной сферы.Радиус единичной сферы $R = 1$.
Диаметр сферы $d = 2R = 2 \cdot 1 = 2$.
Следовательно, высота призмы $h = 2$.

2. Найдем площадь основания $S_{осн}$.
Основанием правильной треугольной призмы является равносторонний треугольник. Так как сфера касается боковых граней призмы, то сечение призмы плоскостью, проходящей через центр сферы параллельно основаниям, представляет собой равносторонний треугольник, в который вписана окружность большого круга сферы. Радиус этой вписанной окружности равен радиусу сферы, то есть $r = R = 1$.

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, находится по формуле:$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Выразим сторону треугольника $a$ через радиус $r$:$a = 2\sqrt{3} \cdot r = 2\sqrt{3} \cdot 1 = 2\sqrt{3}$

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим найденное значение стороны $a$ в формулу площади:$S_{осн} = \frac{(2\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(4 \cdot 3)\sqrt{3}}{4} = \frac{12\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}$

3. Найдем объем призмы $V$.
Теперь, зная площадь основания и высоту, можем вычислить объем:$V = S_{осн} \cdot h = 3\sqrt{3} \cdot 2 = 6\sqrt{3}$

Ответ: $6\sqrt{3}$.

24.19. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, описанной около единичной сферы (рис. 24.12).

Рис. 24.12

Дано:
Правильная шестиугольная призма, описанная около единичной сферы.
Радиус сферы $R = 1$.

Найти:
Объем призмы $V$.

Решение:
Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

Поскольку призма описана около сферы, сфера касается всех граней призмы: верхнего и нижнего оснований, а также всех боковых граней.

1. Из условия касания сферы верхнего и нижнего оснований следует, что высота призмы $H$ равна диаметру сферы $D$.
Радиус единичной сферы $R = 1$, значит ее диаметр $D = 2R = 2 \cdot 1 = 2$.
Таким образом, высота призмы $H = 2$.

2. Из условия касания сферы боковых граней следует, что в основание призмы (правильный шестиугольник) вписана окружность, являющаяся сечением сферы плоскостью, проходящей через центр сферы параллельно основаниям. Радиус этой вписанной в шестиугольник окружности $r$ равен радиусу сферы $R$.
Следовательно, $r = R = 1$.

3. Найдем площадь основания призмы $S_{осн}$. Основание — это правильный шестиугольник с радиусом вписанной окружности $r=1$.
Связь между стороной правильного шестиугольника $a$ и радиусом вписанной в него окружности $r$ выражается формулой: $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Подставим наше значение $r=1$ и найдем сторону $a$:
$1 = \frac{a\sqrt{3}}{2} \Rightarrow a = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
Площадь правильного шестиугольника можно вычислить по формуле через его сторону: $S_{осн} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.
Подставим найденное значение $a$:
$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{3} = 2\sqrt{3}$.
Итак, площадь основания призмы $S_{осн} = 2\sqrt{3}$.

4. Теперь, зная площадь основания и высоту, найдем объем призмы:
$V = S_{осн} \cdot H = 2\sqrt{3} \cdot 2 = 4\sqrt{3}$.

Ответ: $4\sqrt{3}$.

24.20. В наклонной треугольной призме площадь одной из боковых граней равна $Q$, а расстояние от нее до противолежащего ребра равно $d$. Найдите объем призмы (рис. 24.13).

Дано:

Наклонная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Площадь боковой грани $S_{бок} = Q$.

Расстояние от противолежащего ребра до плоскости этой грани равно $d$.

Найти:

$V$ – объем призмы.

Решение:

Объем любой призмы, в том числе и наклонной, можно вычислить по формуле:

$V = S_{\perp} \cdot l$

где $l$ – длина бокового ребра призмы (например, $l = AA_1 = BB_1 = CC_1$), а $S_{\perp}$ – площадь перпендикулярного сечения призмы.

Перпендикулярное сечение – это сечение призмы плоскостью, перпендикулярной ее боковым ребрам. В нашем случае это будет некоторый треугольник, назовем его $PQR$, вершины которого лежат на боковых ребрах $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$.

Пусть боковая грань с площадью $Q$ – это грань $BB_1C_1C$. Эта грань является параллелограммом. Ее площадь можно выразить как произведение длины бокового ребра $BB_1$ на высоту, проведенную к этому ребру. Эта высота есть не что иное, как расстояние между параллельными прямыми $BB_1$ и $CC_1$.

Пусть $a$ - расстояние между ребрами $BB_1$ и $CC_1$. Тогда площадь грани $BB_1C_1C$ равна:

$Q = l \cdot a$

Сторона перпендикулярного сечения $PQR$, соединяющая ребра $BB_1$ и $CC_1$ (пусть это сторона $QR$), по определению перпендикулярного сечения, будет иметь длину, равную расстоянию между этими ребрами, то есть $a$. Таким образом, длина стороны $QR$ равна $a$.

Площадь перпендикулярного сечения $S_{\perp}$ (треугольника $PQR$) можно выразить через сторону $QR$ и высоту $h_P$, проведенную к ней из вершины $P$:

$S_{\perp} = \frac{1}{2} a \cdot h_P$

Подставим это выражение в формулу для объема призмы:

$V = S_{\perp} \cdot l = \left(\frac{1}{2} a \cdot h_P\right) \cdot l = \frac{1}{2} (a \cdot l) \cdot h_P$

Так как мы ранее установили, что $Q = a \cdot l$, получаем:

$V = \frac{1}{2} Q \cdot h_P$

Теперь найдем, чему равна высота $h_P$. По построению, вершина $P$ перпендикулярного сечения лежит на ребре $AA_1$, которое противолежит грани $BB_1C_1C$. Высота $h_P$ – это длина перпендикуляра, опущенного из точки $P$ на прямую, содержащую сторону $QR$.

По условию, $d$ – это расстояние от ребра $AA_1$ до плоскости грани $BB_1C_1C$. Так как ребро $AA_1$ параллельно плоскости грани $BB_1C_1C$ (поскольку $AA_1 \parallel BB_1$), расстояние от любой точки ребра $AA_1$ до этой плоскости постоянно и равно $d$. В частности, расстояние от точки $P$ до плоскости грани $BB_1C_1C$ равно $d$.

Плоскость перпендикулярного сечения $PQR$ перпендикулярна боковым ребрам, в том числе и ребру $BB_1$. Так как ребро $BB_1$ лежит в плоскости грани $BB_1C_1C$, то плоскость сечения $PQR$ перпендикулярна плоскости грани $BB_1C_1C$.

Линией пересечения этих двух взаимно перпендикулярных плоскостей является прямая, содержащая сторону $QR$.

Расстояние от точки $P$, лежащей в одной из взаимно перпендикулярных плоскостей (в плоскости $PQR$), до другой плоскости (плоскости $BB_1C_1C$) равно расстоянию от этой точки до их линии пересечения (прямой $QR$).

Следовательно, расстояние $d$ от точки $P$ до плоскости грани $BB_1C_1C$ равно высоте $h_P$ треугольника $PQR$, проведенной из вершины $P$.

$d = h_P$

Подставляя это в полученную ранее формулу для объема, окончательно получаем:

$V = \frac{1}{2} Q \cdot d$

Ответ: $V = \frac{Qd}{2}$

24.21. Докажите, что объем наклонной призмы равен произведению ее бокового ребра на площадь сечения плоскостью, перпендикулярной этому ребру и пересекающей все ребра этой призмы (рис. 24.14).

Рис. 24.14

Решение

Пусть дана наклонная $n$-угольная призма. Обозначим ее объем через $V$, длину бокового ребра через $l$, площадь основания через $S_{осн}$, а высоту призмы (перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований) через $H$.

Объем любой призмы, в том числе и наклонной, вычисляется по формуле:

$V = S_{осн} \cdot H$

Пусть $\gamma$ — это острый угол между боковым ребром и плоскостью основания. Тогда высота призмы $H$ связана с длиной бокового ребра $l$ следующим соотношением:

$H = l \cdot \sin \gamma$

Подставим это выражение для высоты в формулу объема:

$V = S_{осн} \cdot l \cdot \sin \gamma$

Теперь рассмотрим сечение призмы плоскостью, перпендикулярной ее боковым ребрам. Обозначим площадь этого перпендикулярного сечения через $S_{перп}$.

Согласно теореме о площади ортогональной проекции многоугольника, площадь проекции равна произведению площади исходного многоугольника на косинус угла между их плоскостями. В нашем случае, перпендикулярное сечение можно рассматривать как ортогональную проекцию основания призмы на плоскость, перпендикулярную боковым ребрам.

Пусть $\theta$ — угол между плоскостью основания и плоскостью перпендикулярного сечения. Тогда:

$S_{перп} = S_{осн} \cdot \cos \theta$

Угол $\theta$ между двумя плоскостями равен углу между их нормалями. Нормалью к плоскости основания является прямая, параллельная высоте призмы $H$. Нормалью к плоскости перпендикулярного сечения является прямая, параллельная боковому ребру $l$. Следовательно, $\theta$ — это угол между направлением бокового ребра и направлением высоты.

Угол $\gamma$ (между боковым ребром и плоскостью основания) является дополнением угла $\theta$ до $90^\circ$, так как боковое ребро, его проекция на плоскость основания и высота образуют прямоугольный треугольник. Таким образом:

$\theta = 90^\circ - \gamma$

Отсюда следует, что:

$\cos \theta = \cos(90^\circ - \gamma) = \sin \gamma$

Подставим это в формулу, связывающую площади основания и перпендикулярного сечения:

$S_{перп} = S_{осн} \cdot \sin \gamma$

Теперь вернемся к нашей формуле для объема: $V = S_{осн} \cdot l \cdot \sin \gamma$. Сгруппируем множители:

$V = (S_{осн} \cdot \sin \gamma) \cdot l$

Заменяя выражение в скобках на $S_{перп}$, мы получаем итоговое равенство:

$V = S_{перп} \cdot l$

Таким образом, доказано, что объем наклонной призмы равен произведению ее бокового ребра на площадь сечения, перпендикулярного этому ребру.

Ответ: Утверждение доказано. Объем наклонной призмы $V$ равен произведению длины бокового ребра $l$ на площадь перпендикулярного сечения $S_{перп}$: $V = l \cdot S_{перп}$.

24.22. Боковые ребра наклонной треугольной призмы равны 6 см, а расстояния между ними равны 3 см, 4 см и 5 см. Найдите объем призмы.

Дано:

Наклонная треугольная призма.

Длина бокового ребра $l = 6$ см.

Расстояния между боковыми ребрами (стороны перпендикулярного сечения): $a = 3$ см, $b = 4$ см, $c = 5$ см.

Найти:

Объем призмы $V$.

Решение:

Объем наклонной призмы вычисляется по формуле:

$V = S_{\perp} \cdot l$

где $S_{\perp}$ — это площадь перпендикулярного сечения призмы, а $l$ — длина бокового ребра.

Перпендикулярное сечение — это сечение, плоскость которого перпендикулярна боковым ребрам. В данном случае это треугольник, стороны которого равны заданным расстояниям между боковыми ребрами, то есть $a = 3$ см, $b = 4$ см и $c = 5$ см.

Найдем площадь этого треугольника $S_{\perp}$. Заметим, что для его сторон выполняется теорема Пифагора:

$a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$c^2 = 5^2 = 25$

Поскольку $a^2 + b^2 = c^2$, данный треугольник является прямоугольным, где катеты равны 3 см и 4 см.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S_{\perp} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ см$^2$.

Теперь, зная площадь перпендикулярного сечения и длину бокового ребра, мы можем найти объем призмы:

$V = S_{\perp} \cdot l = 6 \text{ см}^2 \cdot 6 \text{ см} = 36 \text{ см}^3$.

Ответ: $36 \text{ см}^3$.

24.23. Повторите определения тела вращения и цилиндра.

Решение

Определение тела вращения

Тело вращения — это пространственная фигура (объёмное тело), которая образуется при вращении плоской фигуры вокруг неподвижной прямой (оси вращения), лежащей в той же плоскости, что и сама плоская фигура. Каждая точка вращаемой фигуры движется по окружности, центр которой лежит на оси вращения, а плоскость этой окружности перпендикулярна оси. Поверхность, образуемая при вращении контура плоской фигуры, называется поверхностью вращения. Примерами тел вращения являются шар, конус, цилиндр, тор.

Ответ: Тело вращения — это объёмное тело, образованное вращением плоской геометрической фигуры вокруг оси, лежащей в той же плоскости, что и эта фигура.

Определение цилиндра

Цилиндр (в стереометрии, как правило, подразумевается прямой круговой цилиндр) — это тело вращения, которое возникает при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон как оси.

• Сторона, вокруг которой происходит вращение, называется осью цилиндра, а её длина — высотой цилиндра ($h$).
• Две стороны прямоугольника, перпендикулярные оси, при вращении образуют два равных круга, которые называются основаниями цилиндра. Их радиус является радиусом цилиндра ($r$).
• Сторона прямоугольника, параллельная оси вращения, образует боковую (цилиндрическую) поверхность.

Таким образом, цилиндр — это геометрическое тело, ограниченное двумя параллельными круговыми основаниями и боковой цилиндрической поверхностью.

Ответ: Цилиндр — это тело вращения, которое получается при вращении прямоугольника вокруг прямой, содержащей одну из его сторон.