Номер 24.20, страница 143 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

24.20. В наклонной треугольной призме площадь одной из боковых граней равна $Q$, а расстояние от нее до противолежащего ребра равно $d$. Найдите объем призмы (рис. 24.13).

Дано:

Наклонная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Площадь боковой грани $S_{бок} = Q$.

Расстояние от противолежащего ребра до плоскости этой грани равно $d$.

Найти:

$V$ – объем призмы.

Решение:

Объем любой призмы, в том числе и наклонной, можно вычислить по формуле:

$V = S_{\perp} \cdot l$

где $l$ – длина бокового ребра призмы (например, $l = AA_1 = BB_1 = CC_1$), а $S_{\perp}$ – площадь перпендикулярного сечения призмы.

Перпендикулярное сечение – это сечение призмы плоскостью, перпендикулярной ее боковым ребрам. В нашем случае это будет некоторый треугольник, назовем его $PQR$, вершины которого лежат на боковых ребрах $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$.

Пусть боковая грань с площадью $Q$ – это грань $BB_1C_1C$. Эта грань является параллелограммом. Ее площадь можно выразить как произведение длины бокового ребра $BB_1$ на высоту, проведенную к этому ребру. Эта высота есть не что иное, как расстояние между параллельными прямыми $BB_1$ и $CC_1$.

Пусть $a$ - расстояние между ребрами $BB_1$ и $CC_1$. Тогда площадь грани $BB_1C_1C$ равна:

$Q = l \cdot a$

Сторона перпендикулярного сечения $PQR$, соединяющая ребра $BB_1$ и $CC_1$ (пусть это сторона $QR$), по определению перпендикулярного сечения, будет иметь длину, равную расстоянию между этими ребрами, то есть $a$. Таким образом, длина стороны $QR$ равна $a$.

Площадь перпендикулярного сечения $S_{\perp}$ (треугольника $PQR$) можно выразить через сторону $QR$ и высоту $h_P$, проведенную к ней из вершины $P$:

$S_{\perp} = \frac{1}{2} a \cdot h_P$

Подставим это выражение в формулу для объема призмы:

$V = S_{\perp} \cdot l = \left(\frac{1}{2} a \cdot h_P\right) \cdot l = \frac{1}{2} (a \cdot l) \cdot h_P$

Так как мы ранее установили, что $Q = a \cdot l$, получаем:

$V = \frac{1}{2} Q \cdot h_P$

Теперь найдем, чему равна высота $h_P$. По построению, вершина $P$ перпендикулярного сечения лежит на ребре $AA_1$, которое противолежит грани $BB_1C_1C$. Высота $h_P$ – это длина перпендикуляра, опущенного из точки $P$ на прямую, содержащую сторону $QR$.

По условию, $d$ – это расстояние от ребра $AA_1$ до плоскости грани $BB_1C_1C$. Так как ребро $AA_1$ параллельно плоскости грани $BB_1C_1C$ (поскольку $AA_1 \parallel BB_1$), расстояние от любой точки ребра $AA_1$ до этой плоскости постоянно и равно $d$. В частности, расстояние от точки $P$ до плоскости грани $BB_1C_1C$ равно $d$.

Плоскость перпендикулярного сечения $PQR$ перпендикулярна боковым ребрам, в том числе и ребру $BB_1$. Так как ребро $BB_1$ лежит в плоскости грани $BB_1C_1C$, то плоскость сечения $PQR$ перпендикулярна плоскости грани $BB_1C_1C$.

Линией пересечения этих двух взаимно перпендикулярных плоскостей является прямая, содержащая сторону $QR$.

Расстояние от точки $P$, лежащей в одной из взаимно перпендикулярных плоскостей (в плоскости $PQR$), до другой плоскости (плоскости $BB_1C_1C$) равно расстоянию от этой точки до их линии пересечения (прямой $QR$).

Следовательно, расстояние $d$ от точки $P$ до плоскости грани $BB_1C_1C$ равно высоте $h_P$ треугольника $PQR$, проведенной из вершины $P$.

$d = h_P$

Подставляя это в полученную ранее формулу для объема, окончательно получаем:

$V = \frac{1}{2} Q \cdot d$

Ответ: $V = \frac{Qd}{2}$