Номер 24.19, страница 143 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

24.19. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, описанной около единичной сферы (рис. 24.12).

Рис. 24.12

Дано:
Правильная шестиугольная призма, описанная около единичной сферы.
Радиус сферы $R = 1$.

Найти:
Объем призмы $V$.

Решение:
Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

Поскольку призма описана около сферы, сфера касается всех граней призмы: верхнего и нижнего оснований, а также всех боковых граней.

1. Из условия касания сферы верхнего и нижнего оснований следует, что высота призмы $H$ равна диаметру сферы $D$.
Радиус единичной сферы $R = 1$, значит ее диаметр $D = 2R = 2 \cdot 1 = 2$.
Таким образом, высота призмы $H = 2$.

2. Из условия касания сферы боковых граней следует, что в основание призмы (правильный шестиугольник) вписана окружность, являющаяся сечением сферы плоскостью, проходящей через центр сферы параллельно основаниям. Радиус этой вписанной в шестиугольник окружности $r$ равен радиусу сферы $R$.
Следовательно, $r = R = 1$.

3. Найдем площадь основания призмы $S_{осн}$. Основание — это правильный шестиугольник с радиусом вписанной окружности $r=1$.
Связь между стороной правильного шестиугольника $a$ и радиусом вписанной в него окружности $r$ выражается формулой: $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Подставим наше значение $r=1$ и найдем сторону $a$:
$1 = \frac{a\sqrt{3}}{2} \Rightarrow a = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
Площадь правильного шестиугольника можно вычислить по формуле через его сторону: $S_{осн} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.
Подставим найденное значение $a$:
$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{3} = 2\sqrt{3}$.
Итак, площадь основания призмы $S_{осн} = 2\sqrt{3}$.

4. Теперь, зная площадь основания и высоту, найдем объем призмы:
$V = S_{осн} \cdot H = 2\sqrt{3} \cdot 2 = 4\sqrt{3}$.

Ответ: $4\sqrt{3}$.