Номер 24.12, страница 142 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

24.12. Основание прямой призмы — ромб, площадь которого равна $1 m^2$. Площади диагональных сечений равны $3 m^2$ и $6 m^2$ (рис. 24.7). Найдите объем призмы.

Рис. 24.7

Дано:

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямая призма
Основание $ABCD$ — ромб
Площадь основания $S_{осн} = S_{ABCD} = 1 \text{ м}^2$
Площади диагональных сечений $S_1 = 3 \text{ м}^2$ и $S_2 = 6 \text{ м}^2$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Объем призмы $V$.

Решение:

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы. По условию, $S_{осн} = 1 \text{ м}^2$. Нам нужно найти высоту $h$.

В прямой призме высота $h$ равна длине бокового ребра, то есть $h = AA_1 = BB_1 = CC_1 = DD_1$.

Площадь ромба в основании можно выразить через его диагонали $d_1 = AC$ и $d_2 = BD$:

$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2$

Подставим известное значение площади основания:

$1 = \frac{1}{2} d_1 d_2$

Отсюда получаем первое уравнение:

$d_1 d_2 = 2$

Диагональные сечения прямой призмы являются прямоугольниками.

Площадь первого диагонального сечения (прямоугольника $ACC_1A_1$) равна произведению его сторон $AC$ и $AA_1$:

$S_1 = AC \cdot AA_1 = d_1 \cdot h$

Подставим значение площади $S_1 = 3 \text{ м}^2$:

$d_1 \cdot h = 3$

Площадь второго диагонального сечения (прямоугольника $BDD_1B_1$) равна произведению его сторон $BD$ и $BB_1$:

$S_2 = BD \cdot BB_1 = d_2 \cdot h$

Подставим значение площади $S_2 = 6 \text{ м}^2$:

$d_2 \cdot h = 6$

Мы получили систему из трех уравнений:

$\begin{cases}d_1 d_2 = 2 \\d_1 h = 3 \\d_2 h = 6\end{cases}$

Чтобы решить эту систему, перемножим второе и третье уравнения:

$(d_1 h) \cdot (d_2 h) = 3 \cdot 6$

$(d_1 d_2) \cdot h^2 = 18$

Теперь подставим в полученное выражение значение $d_1 d_2$ из первого уравнения:

$2 \cdot h^2 = 18$

$h^2 = \frac{18}{2}$

$h^2 = 9$

$h = \sqrt{9} = 3 \text{ м}$ (высота не может быть отрицательной).

Теперь мы можем вычислить объем призмы:

$V = S_{осн} \cdot h = 1 \text{ м}^2 \cdot 3 \text{ м} = 3 \text{ м}^3$.

Ответ: $3 \text{ м}^3$.