Номер 24.14, страница 142 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

24.14. В параллелепипеде две грани имеют площади $S_1$ и $S_2$, их общее ребро равно $a$, и они образуют между собой двугранный угол $150^\circ$ (рис. 24.8). Найдите объем параллелепипеда.

Рис. 24.8

Дано:

Площадь первой грани: $S_1$

Площадь второй грани: $S_2$

Длина общего ребра: $a$

Двугранный угол между гранями: $\gamma = 150^{\circ}$

Найти:

Объем параллелепипеда: $V$

Решение:

Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота, проведенная к этому основанию.

Пусть одна из данных граней с площадью $S_1$ будет основанием параллелепипеда. Тогда $S_{осн} = S_1$.

Вторая грань с площадью $S_2$ является смежной с основанием и имеет общее ребро длиной $a$.

Площадь этой смежной грани (которая является параллелограммом) можно выразить через длину общего ребра $a$ и высоту $h_2$, проведенную к этому ребру в плоскости этой грани: $S_2 = a \cdot h_2$.

Отсюда мы можем выразить высоту $h_2$: $h_2 = \frac{S_2}{a}$.

Высота параллелепипеда $H$ связана с высотой боковой грани $h_2$ и двугранным углом $\gamma$ между плоскостью основания и плоскостью боковой грани. Если рассмотреть сечение, перпендикулярное общему ребру $a$, то высота $H$ будет катетом прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является $h_2$, а противолежащий угол равен линейному углу двугранного угла $\gamma$ (или $180^{\circ}-\gamma$, что не влияет на значение синуса). Таким образом, их связывает соотношение:

$H = h_2 \cdot \sin(\gamma)$

Подставим в эту формулу выражение для $h_2$ и значение угла $\gamma$:

$H = \frac{S_2}{a} \cdot \sin(150^{\circ})$

Найдем значение синуса:

$\sin(150^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$

Теперь найдем высоту параллелепипеда $H$:

$H = \frac{S_2}{a} \cdot \frac{1}{2} = \frac{S_2}{2a}$

Наконец, вычислим объем параллелепипеда:

$V = S_{осн} \cdot H = S_1 \cdot \frac{S_2}{2a} = \frac{S_1 S_2}{2a}$

Ответ: $V = \frac{S_1 S_2}{2a}$