Номер 24.13, страница 142 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

24.13. Три грани параллелепипеда, имеющие общую вершину, являются ромбами со сторонами 1 см и острыми углами при этой вершине 60° (рис. 24.8). Найдите объем параллелепипеда.

Рис. 24.8

Параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Три грани, имеющие общую вершину $A$ ($ABCD$, $ABB_1A_1$, $ADD_1A_1$), являются ромбами.
Сторона ромбов $a = 1$ см.
Острые углы при вершине $A$: $\angle DAB = \angle BAA_1 = \angle DAA_1 = 60°$.

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Объем параллелепипеда $V$.

Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота.

В качестве основания возьмем ромб $ABCD$. Его площадь равна произведению длин двух смежных сторон на синус угла между ними:

$S_{осн} = S_{ABCD} = AB \cdot AD \cdot \sin(\angle DAB) = a^2 \sin(60°) = 1^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см².

Теперь найдем высоту $h$ параллелепипеда. Высота $h$ — это длина перпендикуляра $A_1H$, опущенного из вершины $A_1$ на плоскость основания $ABCD$.

Рассмотрим треугольник $A_1AB$. Он является равнобедренным, так как $AA_1=AB=a$. Угол при вершине $A$ равен $60°$, следовательно, треугольник $A_1AB$ — равносторонний, и $A_1B = a$. Аналогично, треугольник $A_1AD$ является равносторонним, и $A_1D = a$. Таким образом, вершина $A_1$ равноудалена от точек $A$, $B$ и $D$ ($A_1A = A_1B = A_1D = a$).

Поскольку вершина $A_1$ равноудалена от вершин треугольника $ABD$, ее проекция $H$ на плоскость $ABCD$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABD$.

Рассмотрим треугольник $ABD$ в основании. По теореме косинусов найдем длину стороны $BD$:

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle DAB) = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos(60°) = 2a^2 - 2a^2 \cdot \frac{1}{2} = a^2$.

Отсюда $BD = a$. Так как $AB=AD=BD=a$, треугольник $ABD$ является равносторонним со стороной $a=1$ см.

Точка $H$ является центром описанной окружности $\triangle ABD$. Расстояние от вершины $A$ до точки $H$ равно радиусу $R$ этой окружности. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности равен:

$R = AH = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1HA$. Его гипотенуза $AA_1 = a = 1$ см, катет $AH = R = \frac{1}{\sqrt{3}}$ см. По теореме Пифагора найдем второй катет $h=A_1H$:

$h^2 = AA_1^2 - AH^2 = a^2 - R^2 = 1^2 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

$h = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ см.

Наконец, вычисляем объем параллелепипеда:

$V = S_{осн} \cdot h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{18}}{6} = \frac{\sqrt{9 \cdot 2}}{6} = \frac{3\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см³.

Ответ: $V = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см³.