Номер 24.18, страница 143 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

24.18. Найдите объем правильной треугольной призмы, описанной около единичной сферы (рис. 24.11).

Рис. 24.11

Дано:

Правильная треугольная призма, описанная около единичной сферы.
Радиус сферы $R = 1$.

Найти:

Объем призмы $V$.

Решение:

Объем призмы вычисляется по формуле:$V = S_{осн} \cdot h$,где $S_{осн}$ — площадь основания призмы, а $h$ — ее высота.

1. Найдем высоту призмы $h$.
Так как призма описана около сферы, то сфера касается ее верхнего и нижнего оснований. Расстояние между основаниями, равное высоте призмы, равно диаметру вписанной сферы.Радиус единичной сферы $R = 1$.
Диаметр сферы $d = 2R = 2 \cdot 1 = 2$.
Следовательно, высота призмы $h = 2$.

2. Найдем площадь основания $S_{осн}$.
Основанием правильной треугольной призмы является равносторонний треугольник. Так как сфера касается боковых граней призмы, то сечение призмы плоскостью, проходящей через центр сферы параллельно основаниям, представляет собой равносторонний треугольник, в который вписана окружность большого круга сферы. Радиус этой вписанной окружности равен радиусу сферы, то есть $r = R = 1$.

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, находится по формуле:$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Выразим сторону треугольника $a$ через радиус $r$:$a = 2\sqrt{3} \cdot r = 2\sqrt{3} \cdot 1 = 2\sqrt{3}$

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим найденное значение стороны $a$ в формулу площади:$S_{осн} = \frac{(2\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(4 \cdot 3)\sqrt{3}}{4} = \frac{12\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}$

3. Найдем объем призмы $V$.
Теперь, зная площадь основания и высоту, можем вычислить объем:$V = S_{осн} \cdot h = 3\sqrt{3} \cdot 2 = 6\sqrt{3}$

Ответ: $6\sqrt{3}$.