Номер 24.16, страница 142 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

24.16. Найдите объем правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания и высота которого равны 1 см (рис. 24.9).

Рис. 24.9

Дано:

Правильная треугольная призма вписана в цилиндр.

Радиус основания цилиндра, $R = 1$ см.

Высота цилиндра, $H = 1$ см.

Найти:

Объем призмы, $V_{пр}$.

Решение:

Объем призмы вычисляется по формуле $V_{пр} = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания призмы, а $h$ — ее высота.

1. Поскольку призма вписана в цилиндр, ее высота $h$ равна высоте цилиндра $H$.

$h = H = 1$ см.

2. Основанием правильной треугольной призмы является правильный (равносторонний) треугольник. Так как призма вписана в цилиндр, ее основание (равносторонний треугольник) вписано в окружность, которая является основанием цилиндра. Радиус этой окружности, описанной около треугольника, равен радиусу основания цилиндра, то есть $R = 1$ см.

Связь между радиусом $R$ описанной окружности и стороной $a$ правильного треугольника выражается формулой:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Выразим сторону треугольника $a$ через радиус $R$:

$a = R \sqrt{3}$

Подставим известное значение $R = 1$ см:

$a = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$ см.

3. Теперь найдем площадь основания призмы ($S_{осн}$), которая является площадью равностороннего треугольника со стороной $a = \sqrt{3}$ см. Формула площади равностороннего треугольника:

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим значение стороны $a$:

$S_{осн} = \frac{(\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ см².

4. Наконец, вычислим объем призмы, используя найденные значения площади основания и высоты:

$V_{пр} = S_{осн} \cdot h = \frac{3 \sqrt{3}}{4} \text{ см}^2 \cdot 1 \text{ см} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ см³.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ см³.