Страница 142 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

24.12. Основание прямой призмы — ромб, площадь которого равна $1 m^2$. Площади диагональных сечений равны $3 m^2$ и $6 m^2$ (рис. 24.7). Найдите объем призмы.

Рис. 24.7

Дано:

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямая призма
Основание $ABCD$ — ромб
Площадь основания $S_{осн} = S_{ABCD} = 1 \text{ м}^2$
Площади диагональных сечений $S_1 = 3 \text{ м}^2$ и $S_2 = 6 \text{ м}^2$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Объем призмы $V$.

Решение:

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы. По условию, $S_{осн} = 1 \text{ м}^2$. Нам нужно найти высоту $h$.

В прямой призме высота $h$ равна длине бокового ребра, то есть $h = AA_1 = BB_1 = CC_1 = DD_1$.

Площадь ромба в основании можно выразить через его диагонали $d_1 = AC$ и $d_2 = BD$:

$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2$

Подставим известное значение площади основания:

$1 = \frac{1}{2} d_1 d_2$

Отсюда получаем первое уравнение:

$d_1 d_2 = 2$

Диагональные сечения прямой призмы являются прямоугольниками.

Площадь первого диагонального сечения (прямоугольника $ACC_1A_1$) равна произведению его сторон $AC$ и $AA_1$:

$S_1 = AC \cdot AA_1 = d_1 \cdot h$

Подставим значение площади $S_1 = 3 \text{ м}^2$:

$d_1 \cdot h = 3$

Площадь второго диагонального сечения (прямоугольника $BDD_1B_1$) равна произведению его сторон $BD$ и $BB_1$:

$S_2 = BD \cdot BB_1 = d_2 \cdot h$

Подставим значение площади $S_2 = 6 \text{ м}^2$:

$d_2 \cdot h = 6$

Мы получили систему из трех уравнений:

$\begin{cases}d_1 d_2 = 2 \\d_1 h = 3 \\d_2 h = 6\end{cases}$

Чтобы решить эту систему, перемножим второе и третье уравнения:

$(d_1 h) \cdot (d_2 h) = 3 \cdot 6$

$(d_1 d_2) \cdot h^2 = 18$

Теперь подставим в полученное выражение значение $d_1 d_2$ из первого уравнения:

$2 \cdot h^2 = 18$

$h^2 = \frac{18}{2}$

$h^2 = 9$

$h = \sqrt{9} = 3 \text{ м}$ (высота не может быть отрицательной).

Теперь мы можем вычислить объем призмы:

$V = S_{осн} \cdot h = 1 \text{ м}^2 \cdot 3 \text{ м} = 3 \text{ м}^3$.

Ответ: $3 \text{ м}^3$.

24.13. Три грани параллелепипеда, имеющие общую вершину, являются ромбами со сторонами 1 см и острыми углами при этой вершине 60° (рис. 24.8). Найдите объем параллелепипеда.

Рис. 24.8

Параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Три грани, имеющие общую вершину $A$ ($ABCD$, $ABB_1A_1$, $ADD_1A_1$), являются ромбами.
Сторона ромбов $a = 1$ см.
Острые углы при вершине $A$: $\angle DAB = \angle BAA_1 = \angle DAA_1 = 60°$.

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Объем параллелепипеда $V$.

Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота.

В качестве основания возьмем ромб $ABCD$. Его площадь равна произведению длин двух смежных сторон на синус угла между ними:

$S_{осн} = S_{ABCD} = AB \cdot AD \cdot \sin(\angle DAB) = a^2 \sin(60°) = 1^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см².

Теперь найдем высоту $h$ параллелепипеда. Высота $h$ — это длина перпендикуляра $A_1H$, опущенного из вершины $A_1$ на плоскость основания $ABCD$.

Рассмотрим треугольник $A_1AB$. Он является равнобедренным, так как $AA_1=AB=a$. Угол при вершине $A$ равен $60°$, следовательно, треугольник $A_1AB$ — равносторонний, и $A_1B = a$. Аналогично, треугольник $A_1AD$ является равносторонним, и $A_1D = a$. Таким образом, вершина $A_1$ равноудалена от точек $A$, $B$ и $D$ ($A_1A = A_1B = A_1D = a$).

Поскольку вершина $A_1$ равноудалена от вершин треугольника $ABD$, ее проекция $H$ на плоскость $ABCD$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABD$.

Рассмотрим треугольник $ABD$ в основании. По теореме косинусов найдем длину стороны $BD$:

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle DAB) = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos(60°) = 2a^2 - 2a^2 \cdot \frac{1}{2} = a^2$.

Отсюда $BD = a$. Так как $AB=AD=BD=a$, треугольник $ABD$ является равносторонним со стороной $a=1$ см.

Точка $H$ является центром описанной окружности $\triangle ABD$. Расстояние от вершины $A$ до точки $H$ равно радиусу $R$ этой окружности. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности равен:

$R = AH = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1HA$. Его гипотенуза $AA_1 = a = 1$ см, катет $AH = R = \frac{1}{\sqrt{3}}$ см. По теореме Пифагора найдем второй катет $h=A_1H$:

$h^2 = AA_1^2 - AH^2 = a^2 - R^2 = 1^2 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

$h = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ см.

Наконец, вычисляем объем параллелепипеда:

$V = S_{осн} \cdot h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{18}}{6} = \frac{\sqrt{9 \cdot 2}}{6} = \frac{3\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см³.

Ответ: $V = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см³.

24.14. В параллелепипеде две грани имеют площади $S_1$ и $S_2$, их общее ребро равно $a$, и они образуют между собой двугранный угол $150^\circ$ (рис. 24.8). Найдите объем параллелепипеда.

Рис. 24.8

Дано:

Площадь первой грани: $S_1$

Площадь второй грани: $S_2$

Длина общего ребра: $a$

Двугранный угол между гранями: $\gamma = 150^{\circ}$

Найти:

Объем параллелепипеда: $V$

Решение:

Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота, проведенная к этому основанию.

Пусть одна из данных граней с площадью $S_1$ будет основанием параллелепипеда. Тогда $S_{осн} = S_1$.

Вторая грань с площадью $S_2$ является смежной с основанием и имеет общее ребро длиной $a$.

Площадь этой смежной грани (которая является параллелограммом) можно выразить через длину общего ребра $a$ и высоту $h_2$, проведенную к этому ребру в плоскости этой грани: $S_2 = a \cdot h_2$.

Отсюда мы можем выразить высоту $h_2$: $h_2 = \frac{S_2}{a}$.

Высота параллелепипеда $H$ связана с высотой боковой грани $h_2$ и двугранным углом $\gamma$ между плоскостью основания и плоскостью боковой грани. Если рассмотреть сечение, перпендикулярное общему ребру $a$, то высота $H$ будет катетом прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является $h_2$, а противолежащий угол равен линейному углу двугранного угла $\gamma$ (или $180^{\circ}-\gamma$, что не влияет на значение синуса). Таким образом, их связывает соотношение:

$H = h_2 \cdot \sin(\gamma)$

Подставим в эту формулу выражение для $h_2$ и значение угла $\gamma$:

$H = \frac{S_2}{a} \cdot \sin(150^{\circ})$

Найдем значение синуса:

$\sin(150^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$

Теперь найдем высоту параллелепипеда $H$:

$H = \frac{S_2}{a} \cdot \frac{1}{2} = \frac{S_2}{2a}$

Наконец, вычислим объем параллелепипеда:

$V = S_{осн} \cdot H = S_1 \cdot \frac{S_2}{2a} = \frac{S_1 S_2}{2a}$

Ответ: $V = \frac{S_1 S_2}{2a}$

24.15. В пространстве даны три параллелепипеда. Как провести плоскость, чтобы она разделила каждый параллелепипед на две равновеликие части?

Решение

Свойство, которое является ключом к решению этой задачи, связано с симметрией параллелепипеда. Любой параллелепипед — это центрально-симметричная фигура. Его центр симметрии находится в точке пересечения его пространственных диагоналей.

Для любого центрально-симметричного тела верно, что любая плоскость, проходящая через его центр симметрии, делит это тело на две части равного объема (то есть на две равновеликие части). Это объясняется тем, что для любой точки фигуры, находящейся по одну сторону от плоскости, симметричная ей относительно центра точка будет находиться по другую сторону от плоскости. Таким образом, объемы частей тела по обе стороны от плоскости будут равны.

В нашей задаче даны три параллелепипеда. Чтобы искомая плоскость делила каждый из них на две равновеликие части, она должна одновременно пройти через центры симметрии всех трех параллелепипедов.

Обозначим центры симметрии трех параллелепипедов как точки $O_1$, $O_2$ и $O_3$. Алгоритм построения плоскости заключается в том, чтобы провести ее через эти три точки. При этом возможны два сценария:

1. Точки $O_1$, $O_2$ и $O_3$ не лежат на одной прямой (неколлинеарны). В этом случае, согласно аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Эта плоскость и будет единственным решением задачи.

2. Точки $O_1$, $O_2$ и $O_3$ лежат на одной прямой (коллинеарны), или некоторые из них (или все три) совпадают. В этом случае через прямую, на которой лежат эти точки, можно провести бесконечное множество плоскостей. Любая из этих плоскостей будет проходить через центры всех трех параллелепипедов и, следовательно, будет делить каждый из них пополам. В такой ситуации задача имеет бесконечное число решений.

Таким образом, для решения задачи нужно выполнить следующие действия:

- Для каждого из трех параллелепипедов найти его центр симметрии (точку пересечения диагоналей).

- Провести плоскость через три найденные точки.

Ответ:Нужно найти центры симметрии каждого из трех параллелепипедов, которые являются точками пересечения их диагоналей. Искомая плоскость — это плоскость, проходящая через эти три центра. Если центры лежат на одной прямой, то решением является любая плоскость, проходящая через эту прямую.

24.16. Найдите объем правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания и высота которого равны 1 см (рис. 24.9).

Рис. 24.9

Дано:

Правильная треугольная призма вписана в цилиндр.

Радиус основания цилиндра, $R = 1$ см.

Высота цилиндра, $H = 1$ см.

Найти:

Объем призмы, $V_{пр}$.

Решение:

Объем призмы вычисляется по формуле $V_{пр} = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания призмы, а $h$ — ее высота.

1. Поскольку призма вписана в цилиндр, ее высота $h$ равна высоте цилиндра $H$.

$h = H = 1$ см.

2. Основанием правильной треугольной призмы является правильный (равносторонний) треугольник. Так как призма вписана в цилиндр, ее основание (равносторонний треугольник) вписано в окружность, которая является основанием цилиндра. Радиус этой окружности, описанной около треугольника, равен радиусу основания цилиндра, то есть $R = 1$ см.

Связь между радиусом $R$ описанной окружности и стороной $a$ правильного треугольника выражается формулой:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Выразим сторону треугольника $a$ через радиус $R$:

$a = R \sqrt{3}$

Подставим известное значение $R = 1$ см:

$a = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$ см.

3. Теперь найдем площадь основания призмы ($S_{осн}$), которая является площадью равностороннего треугольника со стороной $a = \sqrt{3}$ см. Формула площади равностороннего треугольника:

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим значение стороны $a$:

$S_{осн} = \frac{(\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ см².

4. Наконец, вычислим объем призмы, используя найденные значения площади основания и высоты:

$V_{пр} = S_{осн} \cdot h = \frac{3 \sqrt{3}}{4} \text{ см}^2 \cdot 1 \text{ см} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ см³.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ см³.

24.17. Найдите объем правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1 см (рис. 24.10).

Рис. 24.10

Дано:

Правильная треугольная призма, описанная около цилиндра.
Радиус основания цилиндра $r = 1$ см.
Высота цилиндра $h_{цил} = 1$ см.

Найти:

Объем призмы $V_{пр}$.

Решение:

Объем призмы вычисляется по формуле $V_{пр} = S_{осн} \cdot H_{пр}$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H_{пр}$ — высота призмы.

Поскольку правильная призма описана около цилиндра, ее высота равна высоте цилиндра:
$H_{пр} = h_{цил} = 1$ см.

Основанием призмы является правильный (равносторонний) треугольник, в который вписано основание цилиндра — окружность радиусом $r = 1$ см. Связь между стороной $a$ равностороннего треугольника и радиусом $r$ вписанной в него окружности выражается формулой:
$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Подставим известное значение радиуса и найдем сторону треугольника $a$:
$1 = \frac{a}{2\sqrt{3}} \Rightarrow a = 2\sqrt{3}$ см.

Площадь равностороннего треугольника (основания призмы) вычисляется по формуле:
$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Подставим значение стороны $a$:
$S_{осн} = \frac{(2\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}$ см².

Теперь можем найти объем призмы:
$V_{пр} = S_{осн} \cdot H_{пр} = 3\sqrt{3} \cdot 1 = 3\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $3\sqrt{3}$ см³.