Страница 137 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

23.15. Ребра прямоугольного параллелепипеда $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, выходящие из одной вершины, равны 5 см, 4 см, 3 см. Найдите объем треугольной призмы $ABOA_1 B_1 O_1$ (рис. 23.7).

Рис. 23.7

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Ребра, выходящие из одной вершины: $AB = 5$ см, $AD = 4$ см, $AA_1 = 3$ см.

Перевод данных в систему СИ:
$AB = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$
$AD = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$
$AA_1 = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Объем треугольной призмы $V_{ABOA_1B_1O_1}$.

Решение:

Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ – площадь основания, а $h$ – высота.

Для призмы $ABOA_1B_1O_1$ основанием является треугольник $ABO$, а высотой – боковое ребро $AA_1$, так как призма является прямой (ее боковые ребра перпендикулярны основанию).

Расчеты будем проводить в единицах системы СИ.

Высота призмы $h$ равна длине ребра $AA_1$: $h = 0.03$ м.

Основание параллелепипеда $ABCD$ – это прямоугольник со сторонами $AB = 0.05$ м и $AD = 0.04$ м. Его площадь равна:

$S_{ABCD} = AB \cdot AD = 0.05 \text{ м} \cdot 0.04 \text{ м} = 0.002 \text{ м}^2$.

Точка $O$ – это точка пересечения диагоналей прямоугольника $ABCD$. Диагонали делят прямоугольник на четыре равновеликих треугольника. Площадь основания призмы, треугольника $ABO$, составляет четверть от площади прямоугольника $ABCD$:

$S_{осн} = S_{ABO} = \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{1}{4} \cdot 0.002 \text{ м}^2 = 0.0005 \text{ м}^2$.

Теперь вычислим объем призмы:

$V_{ABOA_1B_1O_1} = S_{осн} \cdot h = 0.0005 \text{ м}^2 \cdot 0.03 \text{ м} = 0.000015 \text{ м}^3$.

Поскольку исходные данные были в сантиметрах, переведем результат обратно в кубические сантиметры для наглядности. Используем соотношение $1 \text{ м}^3 = 1\ 000\ 000 \text{ см}^3$:

$V = 0.000015 \cdot 1\ 000\ 000 \text{ см}^3 = 15 \text{ см}^3$.

Ответ: $15 \text{ см}^3$.

23.16. Основанием аквариума является прямоугольник со сторонами 40 см и 50 см. Уровень воды в нем находится на высоте 80 см. Эту воду перелили в другой аквариум, основанием которого является прямоугольник со сторонами 80 см и 100 см. На какой высоте будет находиться уровень воды?

Дано:

Параметры первого аквариума (1):
Сторона основания $a_1 = 40$ см
Сторона основания $b_1 = 50$ см
Высота уровня воды $h_1 = 80$ см
Параметры второго аквариума (2):
Сторона основания $a_2 = 80$ см
Сторона основания $b_2 = 100$ см

Перевод в систему СИ:
$a_1 = 0.4$ м
$b_1 = 0.5$ м
$h_1 = 0.8$ м
$a_2 = 0.8$ м
$b_2 = 1.0$ м

Найти:

Высоту уровня воды во втором аквариуме $h_2$.

Решение:

Ключевой принцип для решения этой задачи — сохранение объема жидкости. Когда воду переливают из одного сосуда в другой, ее объем не меняется.

1. Сначала вычислим объем воды в первом аквариуме. Так как аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда, объем воды $V_1$ можно найти по формуле: $V_1 = a_1 \times b_1 \times h_1$

Подставим данные значения в формулу. Для удобства расчетов будем использовать сантиметры. $V_1 = 40 \text{ см} \times 50 \text{ см} \times 80 \text{ см} = 2000 \text{ см}^2 \times 80 \text{ см} = 160000 \text{ см}^3$

2. Объем воды во втором аквариуме $V_2$ равен объему воды, который был в первом аквариуме: $V_2 = V_1 = 160000 \text{ см}^3$

3. Объем воды во втором аквариуме также можно выразить через его параметры: площадь основания ($S_2 = a_2 \times b_2$) и искомую высоту уровня воды $h_2$. $V_2 = a_2 \times b_2 \times h_2$

4. Из этого соотношения мы можем выразить неизвестную высоту $h_2$: $h_2 = \frac{V_2}{a_2 \times b_2}$

5. Подставим известные значения и вычислим результат: $h_2 = \frac{160000 \text{ см}^3}{80 \text{ см} \times 100 \text{ см}} = \frac{160000 \text{ см}^3}{8000 \text{ см}^2} = 20 \text{ см}$

Можно также решить задачу, используя отношение площадей оснований. Уравнение сохранения объема $a_1 b_1 h_1 = a_2 b_2 h_2$ можно переписать как: $h_2 = h_1 \times \frac{a_1 b_1}{a_2 b_2} = 80 \text{ см} \times \frac{40 \text{ см} \times 50 \text{ см}}{80 \text{ см} \times 100 \text{ см}} = 80 \text{ см} \times \frac{2000}{8000} = 80 \text{ см} \times \frac{1}{4} = 20 \text{ см}$

Ответ: уровень воды во втором аквариуме будет находиться на высоте 20 см.

23.17. Найдите объем общей части (пересечения) двух единичных кубов, вершина одного из которых расположена в центре другого (рис. 23.8).

Рис. 23.8

Дано:

Два единичных куба $C_1$ и $C_2$.

Длина ребра каждого куба $a = 1$.

Вершина куба $C_1$ расположена в центре куба $C_2$.

Рёбра кубов взаимно параллельны (согласно рисунку).

Найти:

Объём общей части (пересечения) кубов $V_{перес}$.

Решение:

Для решения задачи введём трёхмерную декартову систему координат. Расположим центр куба $C_2$ в начале координат, в точке $O(0, 0, 0)$. Оси координат направим параллельно рёбрам куба $C_2$.

Так как куб $C_2$ является единичным (длина ребра $a=1$) и его центр находится в начале координат, то его грани лежат в плоскостях $x = \pm 1/2$, $y = \pm 1/2$ и $z = \pm 1/2$. Пространство, занимаемое кубом $C_2$, описывается системой неравенств:

$-1/2 \le x \le 1/2$

$-1/2 \le y \le 1/2$

$-1/2 \le z \le 1/2$

По условию, одна из вершин куба $C_1$ находится в центре куба $C_2$, то есть в точке $O(0, 0, 0)$. Поскольку рёбра кубов взаимно параллельны, мы можем расположить куб $C_1$ так, чтобы его рёбра, выходящие из вершины $O$, совпадали с положительными направлениями осей координат.

В этом случае пространство, занимаемое единичным кубом $C_1$, будет описываться системой неравенств:

$0 \le x \le 1$

$0 \le y \le 1$

$0 \le z \le 1$

Общая часть (пересечение) двух кубов — это геометрическое тело, точки которого принадлежат обоим кубам. Координаты $(x, y, z)$ этих точек должны удовлетворять обеим системам неравенств одновременно. Найдём пересечение диапазонов для каждой координаты:

Для оси $x$: $x \in [-1/2, 1/2] \cap [0, 1] = [0, 1/2]$. Длина этого отрезка равна $1/2 - 0 = 1/2$.

Для оси $y$: $y \in [-1/2, 1/2] \cap [0, 1] = [0, 1/2]$. Длина этого отрезка равна $1/2 - 0 = 1/2$.

Для оси $z$: $z \in [-1/2, 1/2] \cap [0, 1] = [0, 1/2]$. Длина этого отрезка равна $1/2 - 0 = 1/2$.

Таким образом, область пересечения представляет собой прямоугольный параллелепипед (в данном случае — куб), ограниченный неравенствами $0 \le x \le 1/2$, $0 \le y \le 1/2$, $0 \le z \le 1/2$.

Длина ребра этого куба-пересечения равна $1/2$.

Объём этого куба вычисляется по формуле $V = b^3$, где $b$ — длина ребра.

$V_{перес} = (1/2)^3 = 1/2 \cdot 1/2 \cdot 1/2 = 1/8$.

Ответ: $1/8$.

23.18. Найдите объем фигуры, составленной из двух единичных кубов,
две вершины одного из которых расположены в центрах граней
другого (рис. 23.9).

20.19. С...

Рис. 23.9

Дано:

Фигура состоит из двух единичных кубов.

Длина ребра каждого куба $a = 1$.

Две вершины одного куба расположены в центрах граней другого.

Найти:

Объем фигуры $V_{общ}$.

Решение:

Объем фигуры, составленной из двух пересекающихся тел, равен сумме их объемов минус объем их пересечения (общей части). Объем одного единичного куба равен $V_{куб} = a^3 = 1^3 = 1$. Тогда общий объем фигуры вычисляется по формуле:

$V_{общ} = V_1 + V_2 - V_{перес} = 1 + 1 - V_{перес} = 2 - V_{перес}$

где $V_{перес}$ — объем общей части (пересечения) двух кубов.

Для нахождения объема пересечения разместим один из кубов (Куб 1) в системе координат так, чтобы он занимал область пространства, описываемую неравенствами: $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1$, $0 \le z \le 1$.

Из условия задачи и анализа возможных расстояний между центрами граней следует, что две смежные вершины второго куба (Куб 2) должны располагаться в центрах двух противоположных граней Куба 1. Расстояние между такими центрами равно 1, что соответствует длине ребра Куба 2.

Рассмотрим конфигурацию, соответствующую изображению, где один куб смещен относительно другого. Пусть Куб 2 смещен относительно Куба 1 на половину длины ребра ($1/2$) вдоль осей $x$ и $y$, но не смещен вдоль оси $z$. Тогда Куб 2 будет занимать область пространства, описываемую неравенствами: $1/2 \le x \le 3/2$, $1/2 \le y \le 3/2$, $0 \le z \le 1$.

Проверим выполнение условия задачи для этой конфигурации. Вершины Куба 2 имеют координаты $(x, y, z)$, где $x \in \{1/2, 3/2\}$, $y \in \{1/2, 3/2\}$, $z \in \{0, 1\}$. Центры граней Куба 1 — это точки, у которых одна координата равна 0 или 1, а две другие — $1/2$. Две вершины Куба 2, а именно $(1/2, 1/2, 0)$ и $(1/2, 1/2, 1)$, совпадают с центрами нижней и верхней граней Куба 1. Другие вершины Куба 2 не совпадают с центрами граней Куба 1. Таким образом, условие задачи выполнено.

Теперь найдем объем пересечения $V_{перес}$. Пересечением двух кубов является прямоугольный параллелепипед, область которого определяется пересечением соответствующих диапазонов координат:

по оси $x$: пересечение интервалов $[0, 1]$ и $[1/2, 3/2]$ дает $[1/2, 1]$, длина $1 - 1/2 = 1/2$.

по оси $y$: пересечение интервалов $[0, 1]$ и $[1/2, 3/2]$ дает $[1/2, 1]$, длина $1 - 1/2 = 1/2$.

по оси $z$: пересечение интервалов $[0, 1]$ и $[0, 1]$ дает $[0, 1]$, длина $1$.

Объем пересечения равен произведению длин этих отрезков:

$V_{перес} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{4}$

Теперь можем найти общий объем фигуры:

$V_{общ} = 2 - V_{перес} = 2 - \frac{1}{4} = \frac{8}{4} - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$

Ответ: Объем фигуры равен $\frac{7}{4}$ или $1.75$ кубических единиц.

23.19. Строительный кирпич имеет размер $25 \text{ см} \times 12 \text{ см} \times 6 \text{ см}$. Найдите объем стены, выложенной из 10000 кирпичей. Учтите, что раствор увеличивает объем на 15%.

23.20. Тип...

Дано:

Размеры кирпича: $a = 25$ см, $b = 12$ см, $c = 6$ см

Количество кирпичей: $N = 10000$

Увеличение объема за счет раствора: $15\%$

Перевод в систему СИ:

$a = 25 \text{ см} = 0.25 \text{ м}$

$b = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

$c = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Объем стены - $V_{стены}$

Решение:

1. Первым шагом вычислим объем одного строительного кирпича ($V_{кирпича}$). Поскольку кирпич представляет собой прямоугольный параллелепипед, его объем равен произведению трех его измерений:

$V_{кирпича} = a \times b \times c$

Подставим значения в метрах:

$V_{кирпича} = 0.25 \text{ м} \times 0.12 \text{ м} \times 0.06 \text{ м} = 0.0018 \text{ м}^3$

2. Далее найдем суммарный объем всех кирпичей в стене ($V_{всех\_кирпичей}$), умножив объем одного кирпича на их общее количество:

$V_{всех\_кирпичей} = N \times V_{кирпича}$

$V_{всех\_кирпичей} = 10000 \times 0.0018 \text{ м}^3 = 18 \text{ м}^3$

3. Согласно условию, кладочный раствор увеличивает общий объем на 15%. Это значит, что объем стены ($V_{стены}$) будет состоять из объема всех кирпичей плюс 15% от этого объема, которые занимает раствор. Таким образом, итоговый объем составит 115% от объема кирпичей.

$V_{стены} = V_{всех\_кирпичей} + 0.15 \times V_{всех\_кирпичей} = V_{всех\_кирпичей} \times (1 + 0.15) = V_{всех\_кирпичей} \times 1.15$

Выполним расчет:

$V_{стены} = 18 \text{ м}^3 \times 1.15 = 20.7 \text{ м}^3$

Ответ: объем стены, выложенной из 10000 кирпичей с учетом раствора, составляет $20.7 \text{ м}^3$.

23.20. Три свинцовых куба с ребрами $1 \text{ см}$, $6 \text{ см}$ и $8 \text{ см}$ переплавили в один куб. Найдите длину ребра полученного куба.

Дано:

Длина ребра первого куба, $a_1 = 1$ см

Длина ребра второго куба, $a_2 = 6$ см

Длина ребра третьего куба, $a_3 = 8$ см

$a_1 = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$a_2 = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$
$a_3 = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Длину ребра полученного куба, $A$

Решение:

Когда три куба переплавляют в один, их общий объем сохраняется. Следовательно, объем нового, большого куба будет равен сумме объемов трех исходных кубов.

Объем куба вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ – это длина его ребра.

Сначала вычислим объемы каждого из трех свинцовых кубов:

Объем первого куба: $V_1 = a_1^3 = 1^3 = 1 \text{ см}^3$

Объем второго куба: $V_2 = a_2^3 = 6^3 = 216 \text{ см}^3$

Объем третьего куба: $V_3 = a_3^3 = 8^3 = 512 \text{ см}^3$

Теперь найдем суммарный объем, который будет равен объему нового куба $V_{общ}$:

$V_{общ} = V_1 + V_2 + V_3 = 1 + 216 + 512 = 729 \text{ см}^3$

Объем полученного куба также выражается формулой $V_{общ} = A^3$, где $A$ – искомая длина ребра.

Таким образом, мы имеем уравнение:

$A^3 = 729$

Чтобы найти $A$, необходимо извлечь кубический корень из 729:

$A = \sqrt[3]{729} = 9 \text{ см}$

Ответ: длина ребра полученного куба равна 9 см.

23.21. Если каждое ребро куба увеличить на 2 см, то его объем увеличится на 98 $см^3$.

Определите ребро куба.

Дано:

Увеличение длины ребра куба $\Delta a = 2$ см

Увеличение объема куба $\Delta V = 98$ см³

Перевод в систему СИ:
$\Delta a = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$\Delta V = 98 \text{ см}³ = 98 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 98 \cdot 10^{-6} \text{ м}³ = 9.8 \cdot 10^{-5} \text{ м}³$

Найти:

$a$ - первоначальная длина ребра куба.

Решение:

Пусть $a$ — первоначальная длина ребра куба в сантиметрах. Тогда его первоначальный объем $V_1$ равен:

$V_1 = a^3$

После увеличения каждого ребра на 2 см, новая длина ребра стала $(a + 2)$ см. Новый объем куба $V_2$ вычисляется по формуле:

$V_2 = (a + 2)^3$

По условию задачи, объем увеличился на 98 см³. Это означает, что разница между новым и первоначальным объемом составляет 98 см³:

$V_2 - V_1 = \Delta V$

Подставим выражения для объемов в это уравнение:

$(a + 2)^3 - a^3 = 98$

Для решения уравнения раскроем скобки, используя формулу куба суммы: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

$ (a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 2 + 3 \cdot a \cdot 2^2 + 2^3) - a^3 = 98$

Упростим полученное выражение:

$a^3 + 6a^2 + 12a + 8 - a^3 = 98$

$6a^2 + 12a + 8 = 98$

Перенесем константу из правой части в левую, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$6a^2 + 12a + 8 - 98 = 0$

$6a^2 + 12a - 90 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 6:

$a^2 + 2a - 15 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$

Теперь найдем корни уравнения:

$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Длина ребра куба не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $a_2 = -5$ не имеет физического смысла в данной задаче. Таким образом, первоначальная длина ребра куба составляет 3 см.

Проверка:
Первоначальный объем: $V_1 = 3^3 = 27$ см³.
Новое ребро: $a_{new} = 3 + 2 = 5$ см.
Новый объем: $V_2 = 5^3 = 125$ см³.
Увеличение объема: $\Delta V = V_2 - V_1 = 125 - 27 = 98$ см³.
Результат соответствует условию задачи.

Ответ: 3 см.

23.22. В каждой грани куба с ребром 6 см проделали сквозное квадратное отверстие со стороной квадрата 2 см (рис. 23.10).

Найдите объем оставшейся части.

Рис. 23.10

Дано:

Длина ребра куба $a_{куба} = 6$ см.

Сторона квадратного отверстия $b_{отв} = 2$ см.

Перевод в систему СИ:

$a_{куба} = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$b_{отв} = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Объем оставшейся части куба $V_{ост}$.

Решение:

Чтобы найти объем оставшейся части, нужно из первоначального объема куба вычесть объем вырезанной части. Для удобства вычисления будем производить в сантиметрах.

1. Сначала вычислим первоначальный объем куба ($V_{куба}$) по формуле $V = a^3$, где $a$ — длина ребра куба.

$V_{куба} = (a_{куба})^3 = 6^3 = 216$ см³.

2. Далее определим объем вырезанной части ($V_{выр}$). В кубе проделали три сквозных квадратных отверстия, которые перпендикулярны друг другу и пересекаются в его центре. Объем вырезанной части можно найти, используя принцип включений-исключений или разбив ее на более простые фигуры.

Рассмотрим второй, более наглядный способ. Вырезанная фигура состоит из:

• Одного центрального куба, образованного пересечением всех трех отверстий.
• Шести прямоугольных параллелепипедов ("лучей"), которые соединяют грани центрального куба с гранями большого куба.

Сторона центрального куба равна стороне квадратного отверстия, т.е. $b_{отв} = 2$ см. Его объем ($V_{центр}$):

$V_{центр} = (b_{отв})^3 = 2^3 = 8$ см³.

Каждый из шести "лучей" имеет квадратное основание со стороной $b_{отв} = 2$ см. Длина каждого луча ($L_{луч}$) составляет половину разности между ребром большого куба и ребром центрального куба:

$L_{луч} = \frac{a_{куба} - b_{отв}}{2} = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Объем одного такого луча ($V_{луч}$):

$V_{луч} = (b_{отв})^2 \cdot L_{луч} = 2^2 \cdot 2 = 8$ см³.

Так как всего таких лучей шесть, их суммарный объем ($V_{лучей}$):

$V_{лучей} = 6 \cdot V_{луч} = 6 \cdot 8 = 48$ см³.

Полный объем вырезанной части — это сумма объемов центрального куба и шести лучей:

$V_{выр} = V_{центр} + V_{лучей} = 8 + 48 = 56$ см³.

3. Наконец, найдем объем оставшейся части куба ($V_{ост}$), вычтя из первоначального объема объем вырезанной части:

$V_{ост} = V_{куба} - V_{выр} = 216 - 56 = 160$ см³.

Ответ: объем оставшейся части равен 160 см³.