Номер 23.22, страница 137 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

23.22. В каждой грани куба с ребром 6 см проделали сквозное квадратное отверстие со стороной квадрата 2 см (рис. 23.10).

Найдите объем оставшейся части.

Рис. 23.10

Дано:

Длина ребра куба $a_{куба} = 6$ см.

Сторона квадратного отверстия $b_{отв} = 2$ см.

Перевод в систему СИ:

$a_{куба} = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$b_{отв} = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Объем оставшейся части куба $V_{ост}$.

Решение:

Чтобы найти объем оставшейся части, нужно из первоначального объема куба вычесть объем вырезанной части. Для удобства вычисления будем производить в сантиметрах.

1. Сначала вычислим первоначальный объем куба ($V_{куба}$) по формуле $V = a^3$, где $a$ — длина ребра куба.

$V_{куба} = (a_{куба})^3 = 6^3 = 216$ см³.

2. Далее определим объем вырезанной части ($V_{выр}$). В кубе проделали три сквозных квадратных отверстия, которые перпендикулярны друг другу и пересекаются в его центре. Объем вырезанной части можно найти, используя принцип включений-исключений или разбив ее на более простые фигуры.

Рассмотрим второй, более наглядный способ. Вырезанная фигура состоит из:

• Одного центрального куба, образованного пересечением всех трех отверстий.
• Шести прямоугольных параллелепипедов ("лучей"), которые соединяют грани центрального куба с гранями большого куба.

Сторона центрального куба равна стороне квадратного отверстия, т.е. $b_{отв} = 2$ см. Его объем ($V_{центр}$):

$V_{центр} = (b_{отв})^3 = 2^3 = 8$ см³.

Каждый из шести "лучей" имеет квадратное основание со стороной $b_{отв} = 2$ см. Длина каждого луча ($L_{луч}$) составляет половину разности между ребром большого куба и ребром центрального куба:

$L_{луч} = \frac{a_{куба} - b_{отв}}{2} = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Объем одного такого луча ($V_{луч}$):

$V_{луч} = (b_{отв})^2 \cdot L_{луч} = 2^2 \cdot 2 = 8$ см³.

Так как всего таких лучей шесть, их суммарный объем ($V_{лучей}$):

$V_{лучей} = 6 \cdot V_{луч} = 6 \cdot 8 = 48$ см³.

Полный объем вырезанной части — это сумма объемов центрального куба и шести лучей:

$V_{выр} = V_{центр} + V_{лучей} = 8 + 48 = 56$ см³.

3. Наконец, найдем объем оставшейся части куба ($V_{ост}$), вычтя из первоначального объема объем вырезанной части:

$V_{ост} = V_{куба} - V_{выр} = 216 - 56 = 160$ см³.

Ответ: объем оставшейся части равен 160 см³.