Номер 23.18, страница 137 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

23.18. Найдите объем фигуры, составленной из двух единичных кубов,
две вершины одного из которых расположены в центрах граней
другого (рис. 23.9).

20.19. С...

Рис. 23.9

Дано:

Фигура состоит из двух единичных кубов.

Длина ребра каждого куба $a = 1$.

Две вершины одного куба расположены в центрах граней другого.

Найти:

Объем фигуры $V_{общ}$.

Решение:

Объем фигуры, составленной из двух пересекающихся тел, равен сумме их объемов минус объем их пересечения (общей части). Объем одного единичного куба равен $V_{куб} = a^3 = 1^3 = 1$. Тогда общий объем фигуры вычисляется по формуле:

$V_{общ} = V_1 + V_2 - V_{перес} = 1 + 1 - V_{перес} = 2 - V_{перес}$

где $V_{перес}$ — объем общей части (пересечения) двух кубов.

Для нахождения объема пересечения разместим один из кубов (Куб 1) в системе координат так, чтобы он занимал область пространства, описываемую неравенствами: $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1$, $0 \le z \le 1$.

Из условия задачи и анализа возможных расстояний между центрами граней следует, что две смежные вершины второго куба (Куб 2) должны располагаться в центрах двух противоположных граней Куба 1. Расстояние между такими центрами равно 1, что соответствует длине ребра Куба 2.

Рассмотрим конфигурацию, соответствующую изображению, где один куб смещен относительно другого. Пусть Куб 2 смещен относительно Куба 1 на половину длины ребра ($1/2$) вдоль осей $x$ и $y$, но не смещен вдоль оси $z$. Тогда Куб 2 будет занимать область пространства, описываемую неравенствами: $1/2 \le x \le 3/2$, $1/2 \le y \le 3/2$, $0 \le z \le 1$.

Проверим выполнение условия задачи для этой конфигурации. Вершины Куба 2 имеют координаты $(x, y, z)$, где $x \in \{1/2, 3/2\}$, $y \in \{1/2, 3/2\}$, $z \in \{0, 1\}$. Центры граней Куба 1 — это точки, у которых одна координата равна 0 или 1, а две другие — $1/2$. Две вершины Куба 2, а именно $(1/2, 1/2, 0)$ и $(1/2, 1/2, 1)$, совпадают с центрами нижней и верхней граней Куба 1. Другие вершины Куба 2 не совпадают с центрами граней Куба 1. Таким образом, условие задачи выполнено.

Теперь найдем объем пересечения $V_{перес}$. Пересечением двух кубов является прямоугольный параллелепипед, область которого определяется пересечением соответствующих диапазонов координат:

по оси $x$: пересечение интервалов $[0, 1]$ и $[1/2, 3/2]$ дает $[1/2, 1]$, длина $1 - 1/2 = 1/2$.

по оси $y$: пересечение интервалов $[0, 1]$ и $[1/2, 3/2]$ дает $[1/2, 1]$, длина $1 - 1/2 = 1/2$.

по оси $z$: пересечение интервалов $[0, 1]$ и $[0, 1]$ дает $[0, 1]$, длина $1$.

Объем пересечения равен произведению длин этих отрезков:

$V_{перес} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{4}$

Теперь можем найти общий объем фигуры:

$V_{общ} = 2 - V_{перес} = 2 - \frac{1}{4} = \frac{8}{4} - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$

Ответ: Объем фигуры равен $\frac{7}{4}$ или $1.75$ кубических единиц.