Номер 23.15, страница 137 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

23.15. Ребра прямоугольного параллелепипеда $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, выходящие из одной вершины, равны 5 см, 4 см, 3 см. Найдите объем треугольной призмы $ABOA_1 B_1 O_1$ (рис. 23.7).

Рис. 23.7

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Ребра, выходящие из одной вершины: $AB = 5$ см, $AD = 4$ см, $AA_1 = 3$ см.

Перевод данных в систему СИ:
$AB = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$
$AD = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$
$AA_1 = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Объем треугольной призмы $V_{ABOA_1B_1O_1}$.

Решение:

Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ – площадь основания, а $h$ – высота.

Для призмы $ABOA_1B_1O_1$ основанием является треугольник $ABO$, а высотой – боковое ребро $AA_1$, так как призма является прямой (ее боковые ребра перпендикулярны основанию).

Расчеты будем проводить в единицах системы СИ.

Высота призмы $h$ равна длине ребра $AA_1$: $h = 0.03$ м.

Основание параллелепипеда $ABCD$ – это прямоугольник со сторонами $AB = 0.05$ м и $AD = 0.04$ м. Его площадь равна:

$S_{ABCD} = AB \cdot AD = 0.05 \text{ м} \cdot 0.04 \text{ м} = 0.002 \text{ м}^2$.

Точка $O$ – это точка пересечения диагоналей прямоугольника $ABCD$. Диагонали делят прямоугольник на четыре равновеликих треугольника. Площадь основания призмы, треугольника $ABO$, составляет четверть от площади прямоугольника $ABCD$:

$S_{осн} = S_{ABO} = \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{1}{4} \cdot 0.002 \text{ м}^2 = 0.0005 \text{ м}^2$.

Теперь вычислим объем призмы:

$V_{ABOA_1B_1O_1} = S_{осн} \cdot h = 0.0005 \text{ м}^2 \cdot 0.03 \text{ м} = 0.000015 \text{ м}^3$.

Поскольку исходные данные были в сантиметрах, переведем результат обратно в кубические сантиметры для наглядности. Используем соотношение $1 \text{ м}^3 = 1\ 000\ 000 \text{ см}^3$:

$V = 0.000015 \cdot 1\ 000\ 000 \text{ см}^3 = 15 \text{ см}^3$.

Ответ: $15 \text{ см}^3$.