Номер 23.14, страница 136 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

23.14. Ребра прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, выходящие из одной вершины, равны 5 см, 4 см, 3 см. Найдите объем треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 23.6).

Рис. 23.6

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Ребра, выходящие из вершины A, равны:

$AB = a = 5$ см

$AD = b = 4$ см

$AA_1 = c = 3$ см

Перевод в систему СИ:

$a = 0.05$ м

$b = 0.04$ м

$c = 0.03$ м

Найти:

Объем треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$.

Решение:

Объем любой призмы вычисляется по формуле: $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

В данном случае искомая фигура — это прямая треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Ее основаниями являются треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$.

Высотой этой призмы является боковое ребро, перпендикулярное основанию, например, $AA_1$. Из условия известно, что $h = AA_1 = 3$ см.

Основанием призмы является треугольник $ABC$. Так как исходная фигура — прямоугольный параллелепипед, то его основание $ABCD$ является прямоугольником. Это означает, что угол $\angle ABC$ — прямой, а треугольник $ABC$ — прямоугольный.

Катетами треугольника $ABC$ являются стороны $AB$ и $BC$. Длины этих катетов равны измерениям параллелепипеда:

$AB = 5$ см

$BC = AD = 4$ см

Площадь прямоугольного треугольника $ABC$ (основания призмы) вычисляется как половина произведения его катетов:

$S_{осн} = S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 5 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 10 \text{ см}^2$.

Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем найти объем треугольной призмы:

$V_{ABCA_1B_1C_1} = S_{осн} \cdot h = 10 \text{ см}^2 \cdot 3 \text{ см} = 30 \text{ см}^3$.

Второй способ решения:

Объем всего прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений:

$V_{пар} = AB \cdot AD \cdot AA_1 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \text{ см}^3$.

Диагональное сечение $ACC_1A_1$ делит прямоугольный параллелепипед на две равные по объему треугольные призмы: $ABCA_1B_1C_1$ и $ADCA_1D_1C_1$. Следовательно, объем искомой призмы составляет половину объема всего параллелепипеда.

$V_{ABCA_1B_1C_1} = \frac{1}{2} V_{пар} = \frac{1}{2} \cdot 60 \text{ см}^3 = 30 \text{ см}^3$.

Ответ: объем треугольной призмы равен $30 \text{ см}^3$.