Номер 23.12, страница 136 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

23.12. Найдите объемы деталей, составленных из прямоугольных параллелепипедов, изображенных на рисунке 23.4.

а)

$11$

б)

$8$

Рис. 23.4

а)

Дано:

Деталь, составленная из прямоугольных параллелепипедов. Размеры, указанные на рисунке: общая длина основания = 3, общая ширина (глубина) = 2, общая высота = 2, длина боковых выступов = 1, высота нижней части = 1.

Найти:

Объем детали $V_{a}$.

Решение:

Для нахождения объема данной детали можно представить ее как сумму объемов нескольких прямоугольных параллелепипедов. Разобьем деталь на три части: одно большое нижнее основание и два одинаковых верхних блока по бокам.

1. Найдем объем нижнего основания ($V_{основание}$). Согласно рисунку, его измерения: длина $a_1 = 3$, ширина $b_1 = 2$, высота $c_1 = 1$. Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$.

$V_{основание} = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ (кубических единиц).

2. Найдем объем одного из верхних блоков ($V_{блок}$). Его измерения: длина $a_2 = 1$, ширина $b_2 = 2$. Высота верхнего блока равна разности общей высоты детали и высоты нижнего основания: $c_2 = 2 - 1 = 1$.

$V_{блок} = 1 \cdot 2 \cdot 1 = 2$ (кубические единицы).

3. Общий объем детали ($V_{a}$) равен сумме объема основания и объемов двух одинаковых верхних блоков.

$V_{a} = V_{основание} + 2 \cdot V_{блок} = 6 + 2 \cdot 2 = 6 + 4 = 10$ (кубических единиц).

Ответ: 10 кубических единиц.

б)

Дано:

Деталь, составленная из прямоугольных параллелепипедов. Размеры, указанные на рисунке: общая длина основания = 2, общая ширина (глубина) = 2, общая высота = 2, высота нижней части = 1, длина верхнего выступа = 1.

Найти:

Объем детали $V_{б}$.

Решение:

Чтобы найти объем этой детали, разобьем ее на два прямоугольных параллелепипеда, проведя мысленно горизонтальную плоскость. В результате получим нижний и верхний блоки.

1. Вычислим объем нижнего блока ($V_{низ}$). Его измерения: длина $a_1 = 2$, ширина $b_1 = 2$, высота $c_1 = 1$.

$V_{низ} = 2 \cdot 2 \cdot 1 = 4$ (кубические единицы).

2. Вычислим объем верхнего блока ($V_{верх}$). Его измерения: длина $a_2 = 1$, ширина $b_2 = 2$. Высота блока равна разности общей высоты детали и высоты нижнего блока: $c_2 = 2 - 1 = 1$.

$V_{верх} = 1 \cdot 2 \cdot 1 = 2$ (кубические единицы).

3. Общий объем детали ($V_{б}$) равен сумме объемов нижнего и верхнего блоков.

$V_{б} = V_{низ} + V_{верх} = 4 + 2 = 6$ (кубических единиц).

Ответ: 6 кубических единиц.