Страница 130 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

22.12. Найдите радиус сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду, боковые ребра которой равны 1 см, и плоские углы при вершине равны $90^\circ$.

Дано:

Пирамида SABC - правильная треугольная.
Длина бокового ребра $l = 1$ см.
Плоские углы при вершине S: $\angle ASB = \angle BSC = \angle CSA = 90^\circ$.

Перевод в систему СИ:
$l = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.
Для удобства дальнейшие вычисления будут производиться в сантиметрах.

Найти:

Радиус вписанной сферы, $r$.

Решение:

Радиус сферы, вписанной в многогранник, можно найти по формуле: $r = \frac{3V}{S_{полн}}$, где $V$ — объём многогранника, а $S_{полн}$ — площадь его полной поверхности.

1. Найдём параметры пирамиды.
Пусть S - вершина пирамиды, а ABC - её основание. Боковые рёбра SA, SB, SC равны 1 см. Так как плоские углы при вершине равны $90^\circ$, боковые грани (SAB, SBC, SCA) являются равнобедренными прямоугольными треугольниками.

Сторона основания, например AB, является гипотенузой в прямоугольном треугольнике SAB. По теореме Пифагора: $a^2 = AB^2 = SA^2 + SB^2 = 1^2 + 1^2 = 2$. Отсюда сторона основания $a = \sqrt{2}$ см. Поскольку пирамида правильная, её основание — равносторонний треугольник ABC со стороной $a = \sqrt{2}$ см.

2. Вычислим площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$).
Полная поверхность состоит из площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$). $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.
Площадь основания (равностороннего треугольника): $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(\sqrt{2})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см².

Площадь одной боковой грани (равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами 1 см): $S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot SB = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$ см².
Так как боковых граней три, площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 3 \cdot S_{грани} = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ см².
Площадь полной поверхности пирамиды: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ см².

3. Вычислим объём пирамиды ($V$).
Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} H$, где $H$ - высота пирамиды.
Пусть O - центр основания ABC. Тогда высота пирамиды $H = SO$. В правильной треугольной пирамиде вершина проецируется в центр основания.
Рассмотрим прямоугольный треугольник SOA. Гипотенуза SA = 1 см. Катет AO является радиусом описанной около основания окружности ($R_{осн}$). $R_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ см.

По теореме Пифагора для треугольника SOA: $H^2 = SO^2 = SA^2 - AO^2 = 1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$. $H = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.
Теперь можем найти объём пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$ см³.

4. Найдём радиус вписанной сферы ($r$).
Подставим найденные значения $V$ и $S_{полн}$ в формулу для радиуса: $r = \frac{3V}{S_{полн}} = \frac{3 \cdot \frac{1}{6}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{3 + \sqrt{3}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $(3 - \sqrt{3})$: $r = \frac{1}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{3 - \sqrt{3}}{9 - 3} = \frac{3 - \sqrt{3}}{6}$ см.

Ответ: $r = \frac{3 - \sqrt{3}}{6}$ см.

22.13. Основанием четырехугольной пирамиды является ромб, стороны которого равны 1 см, а острый угол равен $60^\circ$. Высота этой пирамиды равна 1 см и ее основанием является точка пересечения диагоналей ромба. Найдите радиус сферы, вписанной в эту пирамиду.

Дано:

Пирамида $SABCD$, где $ABCD$ - ромб.
Сторона ромба $a = 1$ см.
Острый угол ромба $\alpha = 60^\circ$.
Высота пирамиды $H = 1$ см.
Основание высоты - точка пересечения диагоналей ромба $O$.

Перевод в СИ:
$a = 0.01$ м.
$H = 0.01$ м.
(Для удобства вычислений будем использовать сантиметры, так как итоговый результат не зависит от выбора единиц измерения в данном случае).

Найти:

Радиус вписанной сферы $r$.

Решение:

Поскольку высота пирамиды проходит через центр ромба (точку пересечения диагоналей), данная пирамида является правильной. Центр вписанной сферы лежит на высоте пирамиды.

1. Найдем площадь основания (ромба).
Площадь ромба вычисляется по формуле $S_{осн} = a^2 \sin(\alpha)$, где $a$ - сторона ромба, $\alpha$ - угол между сторонами.
$S_{осн} = 1^2 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

2. Найдем радиус окружности, вписанной в ромб ($r_{осн}$).
Высота ромба $h_{ромба}$ связана с его площадью и стороной: $S_{осн} = a \cdot h_{ромба}$.
$h_{ромба} = \frac{S_{осн}}{a} = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.
Радиус вписанной в ромб окружности равен половине его высоты:
$r_{осн} = \frac{h_{ромба}}{2} = \frac{\sqrt{3}/2}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ см.

3. Найдем апофему (высоту боковой грани) пирамиды $h_s$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной в основание окружности $r_{осн}$ и апофемой $h_s$ (которая является гипотенузой). По теореме Пифагора:
$h_s^2 = H^2 + r_{осн}^2$
$h_s^2 = 1^2 + (\frac{\sqrt{3}}{4})^2 = 1 + \frac{3}{16} = \frac{16+3}{16} = \frac{19}{16}$
$h_s = \sqrt{\frac{19}{16}} = \frac{\sqrt{19}}{4}$ см.

4. Найдем радиус вписанной сферы $r$.
Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через апофему. Это равнобедренный треугольник с основанием $2r_{осн}$ и высотой $H$. Центр вписанной сферы лежит на высоте этого сечения (т.е. на высоте пирамиды) и является центром окружности, вписанной в это сечение.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H=SO$, радиусом вписанной окружности в основание $r_{осн}=OK$ и апофемой $h_s=SK$. Центр вписанной сферы $I$ лежит на высоте $SO$. Расстояние от центра $I$ до основания равно $r$, и расстояние от $I$ до боковой грани (т.е. до апофемы $SK$) также равно $r$.
Треугольник $\Delta SOK$ подобен треугольнику $\Delta SIL$ (где $IL \perp SK$ и $IL = r$).
Из подобия треугольников следует соотношение:
$\frac{IL}{OK} = \frac{SI}{SK}$
Здесь $IL = r$, $OK = r_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4}$, $SK = h_s = \frac{\sqrt{19}}{4}$, а $SI = SO - IO = H - r = 1 - r$.
Подставим значения в пропорцию:
$\frac{r}{\frac{\sqrt{3}}{4}} = \frac{1-r}{\frac{\sqrt{19}}{4}}$
$r \cdot \frac{\sqrt{19}}{4} = (1-r) \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$
Умножим обе части на 4:
$r\sqrt{19} = (1-r)\sqrt{3}$
$r\sqrt{19} = \sqrt{3} - r\sqrt{3}$
$r\sqrt{19} + r\sqrt{3} = \sqrt{3}$
$r(\sqrt{19} + \sqrt{3}) = \sqrt{3}$
$r = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{19} + \sqrt{3}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{19} - \sqrt{3})$:
$r = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{19} - \sqrt{3})}{(\sqrt{19} + \sqrt{3})(\sqrt{19} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}\sqrt{19} - \sqrt{3}\sqrt{3}}{(\sqrt{19})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{57} - 3}{19 - 3} = \frac{\sqrt{57} - 3}{16}$ см.

Ответ: $r = \frac{\sqrt{57} - 3}{16}$ см.

22.14. Приведите пример пирамиды, в которую нельзя вписать сферу.

Решение

Для того чтобы в пирамиду можно было вписать сферу, необходимо и достаточно, чтобы биссекторные плоскости всех двугранных углов пирамиды пересекались в одной точке. Эта точка и будет центром вписанной сферы.

Рассмотрим условие для двугранных углов при основании пирамиды. Пусть в основании пирамиды лежит некоторый многоугольник. Пусть $I$ — центр вписанной сферы, а $r$ — её радиус. Проекция центра $I$ на плоскость основания, точка $I_0$, должна обладать следующим свойством: для любой стороны основания должно выполняться равенство $r = d_i \cdot \tan(\alpha_i/2)$, где $d_i$ — расстояние от точки $I_0$ до $i$-й стороны основания, а $\alpha_i$ — величина двугранного угла при этой стороне.

В качестве примера пирамиды, в которую нельзя вписать сферу, рассмотрим прямую пирамиду, в основании которой лежит прямоугольник, не являющийся квадратом.

Пусть основанием пирамиды $SABCD$ является прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=CD=2a$ и $BC=AD=2b$, причем $a \neq b$. Пусть вершина пирамиды $S$ проецируется в центр прямоугольника $O$ (точка пересечения диагоналей). Высота пирамиды $SO=h$. Такая пирамида является прямой.

Из соображений симметрии, если вписанная сфера существует, то её центр $I$ должен лежать на высоте пирамиды $SO$. Следовательно, проекция центра сферы на основание, точка $I_0$, совпадает с центром прямоугольника $O$.

Найдем расстояния от точки $O$ до сторон основания:

• Расстояние до сторон $AB$ и $CD$ равно половине длины сторон $BC$ и $AD$, то есть $d_{AB} = d_{CD} = b$.

• Расстояние до сторон $BC$ и $DA$ равно половине длины сторон $AB$ и $CD$, то есть $d_{BC} = d_{DA} = a$.

Теперь найдем величины двугранных углов при сторонах основания. Они определяются из прямоугольных треугольников, образованных высотой пирамиды $h$ и соответствующим расстоянием от центра $O$ до стороны.

• Для угла $\alpha_{AB}$ при стороне $AB$: $\tan(\alpha_{AB}) = \frac{SO}{d_{AB}} = \frac{h}{b}$.

• Для угла $\alpha_{BC}$ при стороне $BC$: $\tan(\alpha_{BC}) = \frac{SO}{d_{BC}} = \frac{h}{a}$.

Для существования вписанной сферы радиуса $r$ должны одновременно выполняться следующие условия:

$r = d_{AB} \cdot \tan(\alpha_{AB}/2) = b \cdot \tan(\alpha_{AB}/2)$

$r = d_{BC} \cdot \tan(\alpha_{BC}/2) = a \cdot \tan(\alpha_{BC}/2)$

Отсюда следует необходимое равенство:

$b \cdot \tan(\alpha_{AB}/2) = a \cdot \tan(\alpha_{BC}/2)$

Воспользуемся формулой тангенса половинного угла: $\tan(x/2) = \frac{\tan x}{1+\sqrt{1+\tan^2 x}}$.

Подставим наши значения $\tan(\alpha_{AB}) = h/b$ и $\tan(\alpha_{BC}) = h/a$:

$b \cdot \frac{h/b}{1+\sqrt{1+(h/b)^2}} = a \cdot \frac{h/a}{1+\sqrt{1+(h/a)^2}}$

Сократим $b$ и $a$ в числителях:

$\frac{h}{1+\sqrt{1+h^2/b^2}} = \frac{h}{1+\sqrt{1+h^2/a^2}}$

Так как высота $h \neq 0$, мы можем приравнять знаменатели:

$1+\sqrt{1+\frac{h^2}{b^2}} = 1+\sqrt{1+\frac{h^2}{a^2}}$

$\sqrt{\frac{b^2+h^2}{b^2}} = \sqrt{\frac{a^2+h^2}{a^2}}$

$\frac{\sqrt{b^2+h^2}}{b} = \frac{\sqrt{a^2+h^2}}{a}$

Перемножим крест-накрест:

$a\sqrt{b^2+h^2} = b\sqrt{a^2+h^2}$

Поскольку $a, b, h$ — положительные величины, мы можем возвести обе части уравнения в квадрат:

$a^2(b^2+h^2) = b^2(a^2+h^2)$

$a^2b^2 + a^2h^2 = a^2b^2 + b^2h^2$

$a^2h^2 = b^2h^2$

Так как $h \neq 0$, сокращаем на $h^2$:

$a^2 = b^2$

Поскольку $a$ и $b$ — длины, они положительны, следовательно, $a=b$.

Это означает, что условие для существования вписанной сферы выполняется только в том случае, если $a=b$, то есть когда основание является квадратом. Если же $a \neq b$, то равенство не выполняется, и, следовательно, вписать сферу в такую пирамиду невозможно.

Ответ: Примером пирамиды, в которую нельзя вписать сферу, является любая прямая пирамида, основанием которой служит прямоугольник, не являющийся квадратом. Например, пирамида, у которой в основании лежит прямоугольник со сторонами 6 и 8, а высота, опущенная в центр прямоугольника, равна 10.

22.15. Найдите радиус сферы, вписанной в октаэдр, ребра которого равны 1 см.

Дано:

Правильный октаэдр, ребро которого $a = 1$ см.

Перевод в СИ:

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Радиус вписанной сферы $r_{in}$.

Решение:

Правильный октаэдр — это многогранник, состоящий из восьми граней, каждая из которых является равносторонним треугольником. Его можно представить как две правильные четырехугольные пирамиды, соединенные своими основаниями. Центр вписанной сферы совпадает с центром симметрии октаэдра.

Радиус вписанной сферы $r_{in}$ — это расстояние от центра октаэдра до центра любой его грани. Для нахождения этого расстояния рассмотрим сечение октаэдра, проходящее через вершину $T$ одной из пирамид, центр октаэдра $O$ и середину $M$ ребра основания этой пирамиды. Это сечение является прямоугольным треугольником $TMO$.

Пусть ребро октаэдра равно $a$.

1. Найдем длину катета $OM$. Точка $O$ является центром квадратного основания пирамиды. Точка $M$ — середина стороны этого квадрата. Следовательно, расстояние $OM$ равно половине стороны квадрата: $OM = a/2$.

2. Найдем длину катета $TO$. $TO$ — это высота одной из пирамид, составляющих октаэдр. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный вершиной $T$, центром $O$ и одной из вершин основания, например, $A$. Катет $OA$ — это половина диагонали квадрата со стороной $a$, то есть $OA = (a\sqrt{2})/2 = a/\sqrt{2}$. Гипотенуза $TA$ — это ребро октаэдра, равное $a$. По теореме Пифагора $TO^2 + OA^2 = TA^2$:
$TO^2 + (a/\sqrt{2})^2 = a^2$
$TO^2 = a^2 - a^2/2 = a^2/2$
$TO = \sqrt{a^2/2} = a/\sqrt{2}$.

3. Найдем длину гипотенузы $TM$. $TM$ — это высота (апофема) грани октаэдра. Так как грань является равносторонним треугольником со стороной $a$, ее высота равна $TM = (a\sqrt{3})/2$.

Радиус вписанной сферы $r_{in}$ является высотой в прямоугольном треугольнике $TMO$, опущенной из прямого угла $O$ на гипотенузу $TM$.

Площадь треугольника $TMO$ можно вычислить двумя способами:
$S_{\triangle TMO} = \frac{1}{2} \cdot OM \cdot TO$
$S_{\triangle TMO} = \frac{1}{2} \cdot TM \cdot r_{in}$

Приравняв правые части этих выражений, получим:
$OM \cdot TO = TM \cdot r_{in}$
Отсюда выразим радиус $r_{in}$:
$r_{in} = \frac{OM \cdot TO}{TM}$

Подставим найденные значения длин отрезков:
$r_{in} = \frac{(a/2) \cdot (a/\sqrt{2})}{(a\sqrt{3})/2} = \frac{a^2/(2\sqrt{2})}{a\sqrt{3}/2} = \frac{a^2}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{a\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{6}}$

По условию задачи, длина ребра $a = 1$ см. Подставим это значение в формулу:
$r_{in} = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$ см.

Ответ: $r_{in} = \frac{\sqrt{6}}{6}$ см.

22.16. Повторите определение и свойства площади фигуры на плоскости.

Определение площади
Площадь фигуры на плоскости — это неотрицательная величина, которая сопоставляется этой фигуре и характеризует её размер в плоскости. Формально понятие площади вводится с помощью набора аксиом (свойств), которые определяют, как эта величина должна себя вести.
Интуитивно площадь можно понимать как количество единичных квадратов (квадратов со стороной, равной единице длины), которыми можно покрыть данную фигуру. Для простых фигур, таких как многоугольники, это количество можно вычислить точно. Для фигур со сложными или криволинейными границами площадь находят с помощью предельных переходов, что лежит в основе интегрального исчисления.
Таким образом, определение площади тесно связано с её свойствами, которые по сути и задают это понятие.
Ответ: Площадь — это неотрицательная величина, характеризующая размер части плоскости, занимаемой фигурой, и измеряемая в квадратных единицах на основе выбранного эталона (единичного квадрата).

Свойства площади
Основные свойства площади, часто принимаемые за аксиомы:
1. Неотрицательность. Площадь любой плоской фигуры $F$ является неотрицательным числом: $S(F) \ge 0$.
2. Нормировка. Площадь квадрата, сторона которого равна единице длины (единичного квадрата), принимается равной единице. Эта единица измерения площади (например, 1 м², 1 см² и т. д.) служит эталоном.
3. Инвариантность. Равные (конгруэнтные) фигуры имеют равные площади. Если фигура $F_1$ конгруэнтна фигуре $F_2$ ($F_1 \cong F_2$), то их площади равны: $S(F_1) = S(F_2)$. Это означает, что площадь не меняется при перемещении, повороте или зеркальном отражении фигуры.
4. Аддитивность. Если фигура $F$ составлена из конечного числа других фигур $F_1, F_2, \dots, F_n$, которые не имеют общих внутренних точек (то есть могут пересекаться только по своим границам), то площадь фигуры $F$ равна сумме площадей составляющих её фигур: $S(F) = S(F_1) + S(F_2) + \dots + S(F_n)$.
Из этих основных свойств вытекает также свойство монотонности: если фигура $F_1$ является частью фигуры $F_2$ (то есть $F_1 \subseteq F_2$), то площадь фигуры $F_1$ не превосходит площади фигуры $F_2$: $S(F_1) \le S(F_2)$.
Ответ: Ключевые свойства площади: неотрицательность ($S \ge 0$), инвариантность (равные фигуры имеют равные площади), аддитивность (площадь целой фигуры равна сумме площадей её непересекающихся частей) и нормировка (площадь единичного квадрата равна 1).

1. Найдите сторону основания правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен 1 см:

A) 1 см;

B) $ \sqrt{2} $ см;

C) $ \sqrt{3} $ см;

D) $ 2\sqrt{3} $ см.

Дано:

Правильная треугольная призма, вписанная в цилиндр.

Радиус основания цилиндра $R = 1$ см.

Перевод в СИ:

$R = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$. (Дальнейшие вычисления будут производиться в сантиметрах для удобства).

Найти:

Сторону основания призмы $a$.

Решение:

Основанием правильной треугольной призмы является равносторонний треугольник. Так как призма вписана в цилиндр, то ее основание (равносторонний треугольник) вписано в основание цилиндра, которое представляет собой окружность.

Следовательно, радиус этой окружности является радиусом, описанным около равностороннего треугольника, и по условию он равен радиусу основания цилиндра, то есть $R = 1$ см.

Существует известная формула, которая связывает сторону равностороннего треугольника $a$ и радиус $R$ описанной около него окружности:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Чтобы найти сторону основания призмы $a$, выразим ее из этой формулы:

$a = R \cdot \sqrt{3}$

Теперь подставим известное значение радиуса $R = 1$ см в полученную формулу:

$a = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$ см.

Таким образом, сторона основания правильной треугольной призмы равна $\sqrt{3}$ см. Этот результат соответствует варианту ответа C).

Ответ: $\sqrt{3}$ см.

2. Найдите сторону основания правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен 1 см:

A) 1 см;

B) $\sqrt{2}$ см;

C) $\sqrt{3}$ см;

D) $2\sqrt{3}$ см.

Дано:

Правильная треугольная призма, описанная около цилиндра.

Радиус основания цилиндра $r = 1 \text{ см}$.

Перевод в систему СИ:

$r = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Сторону основания призмы $a$.

Решение:

Поскольку правильная треугольная призма описана около цилиндра, ее основание, которое является правильным (равносторонним) треугольником, описано около основания цилиндра, которое является кругом. Это означает, что круг основания цилиндра вписан в треугольник основания призмы.

Следовательно, радиус основания цилиндра является радиусом вписанной в равносторонний треугольник окружности. Обозначим сторону треугольника как $a$, а радиус вписанной окружности как $r$.

Связь между стороной равностороннего треугольника $a$ и радиусом вписанной в него окружности $r$ выражается формулой:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Из этой формулы выразим сторону $a$:

$a = r \cdot 2\sqrt{3}$

В условии дано, что радиус основания цилиндра $r = 1 \text{ см}$. Подставим это значение в полученную формулу для стороны $a$:

$a = 1 \cdot 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \text{ см}$.

Таким образом, сторона основания правильной треугольной призмы равна $2\sqrt{3} \text{ см}$. Этот результат соответствует варианту ответа D).

Ответ: $2\sqrt{3} \text{ см}$.

3. Найдите сторону основания правильной шестиугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен 1 см:

A) 1 см; B) $ \sqrt{2} $ см; C) $ \sqrt{3} $ см; D) $ 2\sqrt{3} $ см.

Дано:

Правильная шестиугольная призма, вписанная в цилиндр.

Радиус основания цилиндра $R = 1$ см.

Найти:

Сторону основания призмы $a$.

Решение:

Если правильная шестиугольная призма вписана в цилиндр, то ее основание, которое является правильным шестиугольником, вписано в окружность основания цилиндра. Это означает, что все вершины шестиугольника лежат на этой окружности.

Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен радиусу основания цилиндра. Таким образом, радиус описанной окружности для основания призмы составляет $R = 1$ см.

Для правильного шестиугольника существует свойство: его сторона ($a$) равна радиусу описанной около него окружности ($R$).

Докажем это. Правильный шестиугольник можно разделить на 6 одинаковых треугольников, соединив его вершины с центром. Центральный угол каждого такого треугольника равен $360^\circ / 6 = 60^\circ$. Две стороны каждого треугольника являются радиусами описанной окружности ($R$). Так как треугольник равнобедренный с углом при вершине $60^\circ$, то углы при основании также равны $(180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ$. Следовательно, все эти треугольники являются равносторонними. Это означает, что третья сторона треугольника, которая является стороной шестиугольника ($a$), также равна радиусу ($R$).

Таким образом, $a = R$.

Также можно воспользоваться общей формулой для стороны правильного n-угольника ($a_n$), вписанного в окружность радиуса $R$:

$a_n = 2R \sin(\frac{180^\circ}{n})$

Для шестиугольника ($n=6$):

$a_6 = 2R \sin(\frac{180^\circ}{6}) = 2R \sin(30^\circ)$

Поскольку $\sin(30^\circ) = 0.5$, получаем:

$a = 2 \cdot R \cdot 0.5 = R$

Подставим известное значение радиуса $R = 1$ см:

$a = 1$ см.

Этот результат соответствует варианту А).

Ответ: 1 см.

4. Найдите сторону основания правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен 3 см:
A) 1 см; B) $\sqrt{2}$; C) $\sqrt{3}$; D) $2\sqrt{3}$ см.

Дано:

Правильная шестиугольная призма, описанная около цилиндра.
Радиус основания цилиндра, $r = 3 \text{ см}$.

Найти:

Сторону основания призмы, $a$.

Решение:

Так как призма описана около цилиндра, то основание призмы (правильный шестиугольник) описано около основания цилиндра (круга). Радиус основания цилиндра в этом случае является радиусом окружности, вписанной в правильный шестиугольник.

Радиус вписанной в правильный шестиугольник окружности ($r$) связан с его стороной ($a$) следующей формулой:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Из этой формулы выразим сторону шестиугольника $a$:

$a = \frac{2r}{\sqrt{3}}$

Подставим заданное значение радиуса $r = 3 \text{ см}$ в формулу:

$a = \frac{2 \cdot 3}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:

$a = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ см}$

Следовательно, сторона основания правильной шестиугольной призмы равна $2\sqrt{3}$ см, что соответствует варианту D.

Ответ: $2\sqrt{3} \text{ см}$.

5. Найдите высоту конуса, описанного около правильной четырех-угольной пирамиды, все ребра которой равны 2 см:

A) 1 см;

B) $ \sqrt{2} $ см;

C) $ \sqrt{3} $ см;

D) $ 2\sqrt{3} $ см.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида, вписанная в конус.

Длина всех ребер пирамиды $l = 2$ см.

Найти:

Высоту конуса $H_{конуса}$.

Решение:

Поскольку конус описан около правильной четырехугольной пирамиды, их вершины совпадают, а основание пирамиды (квадрат) вписано в основание конуса (окружность). Это означает, что высота конуса $H_{конуса}$ равна высоте пирамиды $H_{пирамиды}$.

Найдем высоту правильной четырехугольной пирамиды, у которой все ребра равны 2 см. Пусть $SABCD$ — данная пирамида, где $ABCD$ — квадратное основание со стороной $a=2$ см, а $S$ — вершина. Боковые ребра $SA=SB=SC=SD$ также равны 2 см.

Высота пирамиды $SO$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины $S$ на плоскость основания. В правильной пирамиде точка $O$ является центром основания, то есть точкой пересечения диагоналей квадрата $AC$ и $BD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOC$. Гипотенуза в этом треугольнике — боковое ребро $SC=2$ см. Один катет — это высота пирамиды $SO=H_{пирамиды}$, а второй катет — это отрезок $OC$, равный половине диагонали основания $AC$.

Сначала найдем длину диагонали $AC$ квадрата $ABCD$. По теореме Пифагора для треугольника $\triangle ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + a^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$.

Тогда диагональ $AC = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.

Отрезок $OC$ равен половине диагонали:

$OC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} = \sqrt{2}$ см.

Теперь найдем высоту $SO$ из прямоугольного треугольника $\triangle SOC$ по теореме Пифагора:

$SC^2 = SO^2 + OC^2$

$SO^2 = SC^2 - OC^2$

Подставим известные значения:

$SO^2 = 2^2 - (\sqrt{2})^2 = 4 - 2 = 2$

$SO = \sqrt{2}$ см.

Высота пирамиды равна $H_{пирамиды} = \sqrt{2}$ см. Следовательно, высота конуса также равна $\sqrt{2}$ см.

Ответ: $\sqrt{2}$ см.

6. Найдите высоту конуса, вписанного в правильную шестиугольную пирамиду, стороны основания которой равны 1 см, а боковые ребра равны 2 см:

A) 1 см;

B) $\sqrt{2}$ см;

C) $\sqrt{3}$ см;

D) $2\sqrt{3}$ см.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида.

Сторона основания $a = 1$ см.

Боковое ребро $l = 2$ см.

В пирамиду вписан конус.

Найти:

Высоту конуса $h_{конуса}$.

Решение:

Высота конуса, вписанного в правильную пирамиду, совпадает с высотой самой пирамиды. Обозначим эту высоту как $h$.

Основанием правильной шестиугольной пирамиды является правильный шестиугольник. Вершина пирамиды проецируется в центр этого шестиугольника, который также является центром описанной и вписанной окружностей.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $h$, боковым ребром $l$ и радиусом $R$ окружности, описанной около основания пирамиды. В этом треугольнике боковое ребро $l$ является гипотенузой, а высота $h$ и радиус $R$ — катетами.

Согласно теореме Пифагора, их связывает соотношение: $l^2 = h^2 + R^2$.

Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне. В нашем случае сторона основания $a = 1$ см, следовательно, радиус описанной окружности $R = a = 1$ см.

Теперь мы можем найти высоту пирамиды $h$. Подставим известные значения в формулу теоремы Пифагора:

$2^2 = h^2 + 1^2$

$4 = h^2 + 1$

$h^2 = 4 - 1$

$h^2 = 3$

$h = \sqrt{3}$ см.

Так как высота конуса равна высоте пирамиды, то высота конуса $h_{конуса} = h = \sqrt{3}$ см.

Ответ: $ \sqrt{3} $ см.

7. Найдите радиус сферы, описанной около куба, ребро которого равно 2 см:

А) 1 см;

В) $\sqrt{2}$ см;

С) $\sqrt{3}$ см;

D) $2\sqrt{3}$ см.

Дано:

Ребро куба: $a = 2$ см

Найти:

Радиус описанной сферы: $R$

Решение:

Сфера, описанная около куба, проходит через все восемь его вершин. Центр такой сферы совпадает с центром куба (точкой пересечения его диагоналей), а её диаметр ($D$) равен главной диагонали куба ($d$).

Длину главной диагонали куба можно найти по формуле, которая является следствием теоремы Пифагора в пространстве:

$d^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2$

Отсюда, диагональ равна:

$d = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Подставим в эту формулу значение длины ребра куба $a = 2$ см:

$d = 2\sqrt{3}$ см

Радиус описанной сферы ($R$) равен половине её диаметра ($D$), а так как диаметр сферы равен диагонали куба ($D = d$), то:

$R = \frac{d}{2}$

Подставим найденное значение диагонали:

$R = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см

Полученный результат соответствует варианту ответа C).

Ответ:

$\sqrt{3}$ см