Номер 22.14, страница 130 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

22.14. Приведите пример пирамиды, в которую нельзя вписать сферу.

Решение

Для того чтобы в пирамиду можно было вписать сферу, необходимо и достаточно, чтобы биссекторные плоскости всех двугранных углов пирамиды пересекались в одной точке. Эта точка и будет центром вписанной сферы.

Рассмотрим условие для двугранных углов при основании пирамиды. Пусть в основании пирамиды лежит некоторый многоугольник. Пусть $I$ — центр вписанной сферы, а $r$ — её радиус. Проекция центра $I$ на плоскость основания, точка $I_0$, должна обладать следующим свойством: для любой стороны основания должно выполняться равенство $r = d_i \cdot \tan(\alpha_i/2)$, где $d_i$ — расстояние от точки $I_0$ до $i$-й стороны основания, а $\alpha_i$ — величина двугранного угла при этой стороне.

В качестве примера пирамиды, в которую нельзя вписать сферу, рассмотрим прямую пирамиду, в основании которой лежит прямоугольник, не являющийся квадратом.

Пусть основанием пирамиды $SABCD$ является прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=CD=2a$ и $BC=AD=2b$, причем $a \neq b$. Пусть вершина пирамиды $S$ проецируется в центр прямоугольника $O$ (точка пересечения диагоналей). Высота пирамиды $SO=h$. Такая пирамида является прямой.

Из соображений симметрии, если вписанная сфера существует, то её центр $I$ должен лежать на высоте пирамиды $SO$. Следовательно, проекция центра сферы на основание, точка $I_0$, совпадает с центром прямоугольника $O$.

Найдем расстояния от точки $O$ до сторон основания:

• Расстояние до сторон $AB$ и $CD$ равно половине длины сторон $BC$ и $AD$, то есть $d_{AB} = d_{CD} = b$.

• Расстояние до сторон $BC$ и $DA$ равно половине длины сторон $AB$ и $CD$, то есть $d_{BC} = d_{DA} = a$.

Теперь найдем величины двугранных углов при сторонах основания. Они определяются из прямоугольных треугольников, образованных высотой пирамиды $h$ и соответствующим расстоянием от центра $O$ до стороны.

• Для угла $\alpha_{AB}$ при стороне $AB$: $\tan(\alpha_{AB}) = \frac{SO}{d_{AB}} = \frac{h}{b}$.

• Для угла $\alpha_{BC}$ при стороне $BC$: $\tan(\alpha_{BC}) = \frac{SO}{d_{BC}} = \frac{h}{a}$.

Для существования вписанной сферы радиуса $r$ должны одновременно выполняться следующие условия:

$r = d_{AB} \cdot \tan(\alpha_{AB}/2) = b \cdot \tan(\alpha_{AB}/2)$

$r = d_{BC} \cdot \tan(\alpha_{BC}/2) = a \cdot \tan(\alpha_{BC}/2)$

Отсюда следует необходимое равенство:

$b \cdot \tan(\alpha_{AB}/2) = a \cdot \tan(\alpha_{BC}/2)$

Воспользуемся формулой тангенса половинного угла: $\tan(x/2) = \frac{\tan x}{1+\sqrt{1+\tan^2 x}}$.

Подставим наши значения $\tan(\alpha_{AB}) = h/b$ и $\tan(\alpha_{BC}) = h/a$:

$b \cdot \frac{h/b}{1+\sqrt{1+(h/b)^2}} = a \cdot \frac{h/a}{1+\sqrt{1+(h/a)^2}}$

Сократим $b$ и $a$ в числителях:

$\frac{h}{1+\sqrt{1+h^2/b^2}} = \frac{h}{1+\sqrt{1+h^2/a^2}}$

Так как высота $h \neq 0$, мы можем приравнять знаменатели:

$1+\sqrt{1+\frac{h^2}{b^2}} = 1+\sqrt{1+\frac{h^2}{a^2}}$

$\sqrt{\frac{b^2+h^2}{b^2}} = \sqrt{\frac{a^2+h^2}{a^2}}$

$\frac{\sqrt{b^2+h^2}}{b} = \frac{\sqrt{a^2+h^2}}{a}$

Перемножим крест-накрест:

$a\sqrt{b^2+h^2} = b\sqrt{a^2+h^2}$

Поскольку $a, b, h$ — положительные величины, мы можем возвести обе части уравнения в квадрат:

$a^2(b^2+h^2) = b^2(a^2+h^2)$

$a^2b^2 + a^2h^2 = a^2b^2 + b^2h^2$

$a^2h^2 = b^2h^2$

Так как $h \neq 0$, сокращаем на $h^2$:

$a^2 = b^2$

Поскольку $a$ и $b$ — длины, они положительны, следовательно, $a=b$.

Это означает, что условие для существования вписанной сферы выполняется только в том случае, если $a=b$, то есть когда основание является квадратом. Если же $a \neq b$, то равенство не выполняется, и, следовательно, вписать сферу в такую пирамиду невозможно.

Ответ: Примером пирамиды, в которую нельзя вписать сферу, является любая прямая пирамида, основанием которой служит прямоугольник, не являющийся квадратом. Например, пирамида, у которой в основании лежит прямоугольник со сторонами 6 и 8, а высота, опущенная в центр прямоугольника, равна 10.