Номер 22.10, страница 129 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

22.10. Выведите формулу радиуса сферы, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду, стороны основания которой равны $a$, а высота равна $h$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида
Сторона основания: $a$
Высота пирамиды: $h$

Найти:

Радиус вписанной сферы: $r$

Решение:

Для вывода формулы радиуса вписанной сферы рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через ее вершину $S$, центр основания $O$ и середину $M$ одной из сторон основания. Это сечение содержит прямоугольный треугольник $\triangle SOM$, где $SO$ — высота пирамиды, $OM$ — апофема основания, а $SM$ — апофема (высота боковой грани) пирамиды.

Центр вписанной сферы $O_с$ лежит на высоте пирамиды $SO$. Радиус сферы $r$ равен расстоянию от ее центра до плоскости основания и до каждой из боковых граней.

Найдем длины сторон прямоугольного треугольника $\triangle SOM$:
1. Катет $SO$ — это высота пирамиды: $SO = h$.
2. Катет $OM$ — это апофема правильного шестиугольника в основании. Она равна высоте равностороннего треугольника со стороной $a$:
$OM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
3. Гипотенуза $SM$ — апофема пирамиды. Найдем ее по теореме Пифагора:
$SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{h^2 + \frac{3a^2}{4}} = \frac{\sqrt{4h^2 + 3a^2}}{2}$.

Центр сферы $O_с$ находится на отрезке $SO$. Расстояние от центра до основания равно радиусу, поэтому $O_сO = r$. Следовательно, расстояние от вершины пирамиды до центра сферы равно $SO_с = SO - O_сO = h - r$.
Расстояние от центра сферы до боковой грани также равно радиусу. В нашем сечении это расстояние — перпендикуляр $O_сK$, опущенный из точки $O_с$ на апофему $SM$. Таким образом, $O_сK = r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SKO_с$ (с прямым углом при вершине $K$). Он подобен исходному треугольнику $\triangle SOM$, так как у них общий острый угол при вершине $S$.

Из подобия треугольников следует равенство отношений соответствующих сторон. Например, отношение катета, противолежащего углу $S$, к гипотенузе (то есть синус угла $S$) должно быть одинаковым для обоих треугольников:
$\frac{OM}{SM} = \frac{O_сK}{SO_с}$

Подставим в это соотношение известные нам величины:
$\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{4h^2 + 3a^2}}{2}} = \frac{r}{h-r}$

Упростим дробь в левой части, сократив на 2:
$\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{4h^2 + 3a^2}} = \frac{r}{h-r}$

Решим это уравнение относительно $r$, используя свойство пропорции (перекрестное умножение):
$a\sqrt{3} \cdot (h-r) = r \cdot \sqrt{4h^2 + 3a^2}$
$h a\sqrt{3} - r a\sqrt{3} = r\sqrt{4h^2 + 3a^2}$
$h a\sqrt{3} = r\sqrt{4h^2 + 3a^2} + r a\sqrt{3}$
$h a\sqrt{3} = r(\sqrt{4h^2 + 3a^2} + a\sqrt{3})$

Отсюда выражаем искомую величину $r$:
$r = \frac{h a\sqrt{3}}{\sqrt{4h^2 + 3a^2} + a\sqrt{3}}$

Ответ: $r = \frac{h a\sqrt{3}}{a\sqrt{3} + \sqrt{4h^2 + 3a^2}}$.